Considere a função f(x)=x-x^{3}.
(a) Use a definição da derivada para calcular a inclinação da curva de f(x) no ponto (1,0).
(b) Encontre dois pontos da curva onde a inclinação dela seja -11 .
(c) Existe a \in \mathbb{R} tal que a inclinação da curva no ponto (a, f(a))=2 ?

Passo 1

O enunciado define a função f(x)=x - x^{3} e pede:
(a) usar a definição de derivada para calcular a inclinação da curva no ponto (1,0);
(b) encontrar dois pontos da curva onde essa inclinação vale -11;
(c) verificar se existe a\in\mathbb{R} tal que a inclinação no ponto (a,f(a)) seja 2.
O conteúdo envolve a definição de derivada de um polinômio e a solução de equações algébricas para encontrar pontos com determinada inclinação.

Passo 2

Para (a), aplicamos a definição de derivada em x=1:
f'(1)=\lim_{h\to0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}.
Primeiro calculamos
f(1+h)= (1+h) - (1+h)^{3} =1+h - \bigl(1+3h+3h^{2}+h^{3}\bigr) =-2h -3h^{2} -h^{3},
enquanto f(1)=1-1^{3}=0.

Passo 3

Substituindo na definição,
\frac{f(1+h)-f(1)}{h} =\frac{-2h -3h^{2} -h^{3}}{h} =-2 -3h -h^{2},
e, fazendo h\to0, obtemos
f'(1)=-2.
Logo, a inclinação da curva em (1,0) é -2.

Passo 4

Para (b) e (c), é mais rápido obter a expressão geral da derivada usando regras de derivação:
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x - x^{3}\bigr)=1 - 3x^{2}.
Em (b) igualamos
1 - 3x^{2} = -11 \quad\Longrightarrow\quad -3x^{2} = -12 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}=4 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm2.
Então os pontos são \bigl(2,f(2)\bigr) e \bigl(-2,f(-2)\bigr)
com
f(2)=2 - 2^{3}=-6, \quad f(-2)=-2 -(-2)^{3}=6.

Passo 5

Em (c), procuramos a tal que
f'(a)=1 - 3a^{2}=2 \quad\Longrightarrow\quad -3a^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad a^{2}=-\tfrac{1}{3},
que não tem solução em \mathbb{R}. Portanto, não existe ponto real onde a inclinação seja 2.

Resposta

(a) -2
(b) (2,-6) e (-2,6)
(c) não existe a\in\mathbb{R} tal que a inclinação seja 2.

Exercícios relacionados