Encontre a (primeira) derivada f^{\prime}(x) e a segunda derivada f^{\prime \prime}(x) das seguintes funções:
\frac{x}{3+x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primeira e a segunda derivada de
f(x) = \frac{x}{3 + x}.
O conteúdo principal que vamos usar é a regra do quociente para derivadas e, em seguida, a regra da potência (e cadeia) para a segunda derivada.

Passo 2

Na regra do quociente, se f(x)=\frac{u(x)}{v(x)}, então
f'(x)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{[v(x)]^2}.
Aqui definimos
u(x)=x,\quad v(x)=3+x
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u'(x)=1,\quad v'(x)=1.

Passo 3

Aplicando a fórmula da regra do quociente:
f'(x) =\frac{1\cdot(3+x)-x\cdot1}{(3+x)^2} =\frac{3 + x - x}{(3+x)^2} =\frac{3}{(3+x)^2}.

Passo 4

Para obter a segunda derivada, escrevemos
f'(x)=3\,(3+x)^{-2}
e aplicamos a regra da potência com cadeia:
f''(x) =3\cdot(-2)\,(3+x)^{-3}\cdot1 =-6\,(3+x)^{-3} =-\frac{6}{(3+x)^3}.

Resposta

f'(x)=\frac{3}{(3+x)^2}
f''(x)=-\frac{6}{(3+x)^3}

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