Use derivadas logarítmicas para derivar as seguintes funções:
h(x)=3^{x} 5^{2 x+1}.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de h(x)=3^{x}\,5^{2x+1} usando derivada logarítmica. O conteúdo aqui é a técnica de log-diferenciação, que consiste em aplicar \ln em ambos os lados, simplificar produtos e potências, e depois diferenciar implicitamente.

Passo 2

Aplicamos o logaritmo natural em ambos os lados:
\ln h(x)=\ln\bigl(3^{x}\,5^{2x+1}\bigr)=\ln\bigl(3^{x}\bigr)+\ln\bigl(5^{2x+1}\bigr) =x\ln3+(2x+1)\ln5.

Passo 3

Diferenciamos implicitamente em relação a x. No lado esquerdo, usando \frac{d}{dx}\ln h(x)=\frac{h'(x)}{h(x)}. No direito,
\frac{d}{dx}\bigl(x\ln3\bigr)=\ln3, \quad \frac{d}{dx}\bigl((2x+1)\ln5\bigr)=2\ln5.
Logo,
\frac{h'(x)}{h(x)}=\ln3+2\ln5.

Passo 4

Isolando h'(x), multiplicamos ambos os lados por h(x):
h'(x)=h(x)\,\bigl(\ln3+2\ln5\bigr).
Substituindo h(x)=3^{x}5^{2x+1}, obtemos a forma final.

Resposta

h'(x)=3^{x}5^{2x+1}\,\bigl(\ln3+2\ln5\bigr).

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