Considere a função de Utilidade de Coubb - Douglas, dada por
, onde
e
. Mostre que
é homogênea de grau
.
A função Utilidade de Leontief,
, onde
e
é homogênea? Se sim, mostre e determine o grau.
Passo 1
O enunciado dá duas funções utilidade e pede para verificar se são homogêneas e, em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade. Informações e perguntas claras:
- Função 1 (Cobb–Douglas):
, com e . - Função 2 (Leontief):
, com e .
Perguntas:
- Mostrar que
é homogênea e determinar o grau. - Verificar se
é homogênea; se for, mostrar e determinar o grau.
Passo 2
Definição de homogeneidade (aquela ferramenta que vamos usar): uma função
é homogênea de grau
se, para todo
e para todos
no domínio,
Explicando bem devagar:
- O parâmetro
significa “escalar” as quantidades de consumo por um mesmo fator . - O número
é o grau de homogeneidade: se a utilidade escala linearmente com ; se escala com ; e assim por diante. - Para testar homogeneidade, substitui-se
por e tenta-se fatorar fora do lado direito.
Passo 3
Aplicando a definição à Cobb–Douglas. Começo calculando
para
:
Agora uso as regras de potência:
e
. Portanto
Repare que
. Logo
Passo 4
Interpretação do cálculo para a Cobb–Douglas:
- A igualdade
coincide exatamente com a definição de homogeneidade com . - Conclusão lógica (já demonstrada passo a passo):
é homogênea de grau . - Intuição prática: se duplicar-se ambos os bens (
), a utilidade aumenta por um fator .
Passo 5
Agora trato da Leontief. Primeiro escrevo
:
Factorizando
dentro do mínimo (lembrando que
):
Aqui uso uma propriedade básica do operador mínimo: para
e quaisquer números
,
Posso justificar essa propriedade rapidamente: se
então
(pois
), logo
; caso contrário o raciocínio é análogo com
.
Passo 6
Aplicando a propriedade do mínimo ao caso:
Isso é exatamente a forma
com
. Portanto a função Leontief é homogênea de grau
.
Passo 7
Interpretação e comentários finais (didáticos e práticos):
- Para Cobb–Douglas o grau
vem da soma dos expoentes; isso é natural porque potências multiplicam os fatores . - Para Leontief, a homogeneidade de grau
reflete que o mínimo entre dois termos escala linearmente quando se escala ambos os argumentos — a função é linear em escala apesar de ser não diferenciável na fronteira onde . - Observação sobre domínio: normalmente consideramos
, e ; as manipulações estão dentro desse domínio e usam apenas regras elementares de potências e do operador mínimo. - Exemplos numéricos rápidos para fixar:
- Cobb–Douglas com
: . Se , então porque . - Leontief com
: . Se , .
- Cobb–Douglas com
Resposta
A função
é homogênea de grau
.
A função
é homogênea de grau
.