Considere a função de Utilidade de Coubb - Douglas, dada por U(x, y)=x^{\alpha} y^{\beta}, onde \alpha>0 e \beta>0. Mostre que U(x, y) é homogênea de grau \alpha+\beta.
A função Utilidade de Leontief, U(x, y)=\min \{a x, b y\}, onde a>0 e b>0 é homogênea? Se sim, mostre e determine o grau.

Passo 1

O enunciado dá duas funções utilidade e pede para verificar se são homogêneas e, em caso afirmativo, determinar o grau de homogeneidade. Informações e perguntas claras:
  • Função 1 (Cobb–Douglas): U(x,y)=x^{\alpha} y^{\beta}, com \alpha>0 e \beta>0.
  • Função 2 (Leontief): U(x,y)=\min\{a x,\; b y\}, com a>0 e b>0.
    Perguntas:
  1. Mostrar que U(x,y)=x^{\alpha} y^{\beta} é homogênea e determinar o grau.
  2. Verificar se U(x,y)=\min\{a x,\; b y\} é homogênea; se for, mostrar e determinar o grau.

Passo 2

Definição de homogeneidade (aquela ferramenta que vamos usar): uma função f(x,y) é homogênea de grau k se, para todo t>0 e para todos (x,y) no domínio,
f(t x,\; t y)=t^{k} f(x,y).
Explicando bem devagar:
  • O parâmetro t>0 significa “escalar” as quantidades de consumo por um mesmo fator t.
  • O número k é o grau de homogeneidade: se k=1 a utilidade escala linearmente com t; se k=2 escala com t^{2}; e assim por diante.
  • Para testar homogeneidade, substitui-se (x,y) por (t x,t y) e tenta-se fatorar t fora do lado direito.

Passo 3

Aplicando a definição à Cobb–Douglas. Começo calculando U(t x,t y) para t>0:
U(t x,t y)=(t x)^{\alpha}(t y)^{\beta}.
Agora uso as regras de potência: (t x)^{\alpha}=t^{\alpha}x^{\alpha} e (t y)^{\beta}=t^{\beta}y^{\beta}. Portanto
U(t x,t y)=t^{\alpha}x^{\alpha}\cdot t^{\beta}y^{\beta}=t^{\alpha+\beta}\,x^{\alpha}y^{\beta}.
Repare que x^{\alpha}y^{\beta}=U(x,y). Logo
U(t x,t y)=t^{\alpha+\beta}U(x,y).

Passo 4

Interpretação do cálculo para a Cobb–Douglas:
  • A igualdade \,U(t x,t y)=t^{\alpha+\beta}U(x,y)\, coincide exatamente com a definição de homogeneidade com k=\alpha+\beta.
  • Conclusão lógica (já demonstrada passo a passo): U(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} é homogênea de grau \alpha+\beta.
  • Intuição prática: se duplicar-se ambos os bens ( t=2), a utilidade aumenta por um fator 2^{\alpha+\beta}.

Passo 5

Agora trato da Leontief. Primeiro escrevo U(t x,t y):
U(t x,t y)=\min\{a\,(t x),\; b\,(t y)\}.
Factorizando t dentro do mínimo (lembrando que t>0):
\min\{a\,(t x),\; b\,(t y)\}=\min\{t\,(a x),\; t\,(b y)\}.
Aqui uso uma propriedade básica do operador mínimo: para t>0 e quaisquer números u,v,
\min\{t u,\; t v\}=t\min\{u,\; v\}.
Posso justificar essa propriedade rapidamente: se u\le v então t u\le t v (pois t>0), logo \min\{t u,t v\}=t u=t\min\{u,v\}; caso contrário o raciocínio é análogo com v.

Passo 6

Aplicando a propriedade do mínimo ao caso:
U(t x,t y)=t\min\{a x,\; b y\}=t\,U(x,y).
Isso é exatamente a forma \,U(t x,t y)=t^{k}U(x,y) com k=1. Portanto a função Leontief é homogênea de grau 1.

Passo 7

Interpretação e comentários finais (didáticos e práticos):
  • Para Cobb–Douglas o grau \alpha+\beta vem da soma dos expoentes; isso é natural porque potências multiplicam os fatores t.
  • Para Leontief, a homogeneidade de grau 1 reflete que o mínimo entre dois termos escala linearmente quando se escala ambos os argumentos — a função é linear em escala apesar de ser não diferenciável na fronteira onde a x=b y.
  • Observação sobre domínio: normalmente consideramos x\ge0, y\ge0 e t>0; as manipulações estão dentro desse domínio e usam apenas regras elementares de potências e do operador mínimo.
  • Exemplos numéricos rápidos para fixar:
    • Cobb–Douglas com \alpha=\beta=\tfrac{1}{2}: U(x,y)=\sqrt{x y}. Se t=3, então U(3x,3y)=3^{1}\sqrt{x y}=3 U(x,y) porque \alpha+\beta=1.
    • Leontief com a=b=1: U(x,y)=\min\{x,y\}. Se t=4, U(4x,4y)=4\min\{x,y\}=4 U(x,y).

Resposta

A função U(x,y)=x^{\alpha}y^{\beta} é homogênea de grau \alpha+\beta.
A função U(x,y)=\min\{a x,\; b y\} é homogênea de grau 1.

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