Considere a função Utilidade de Leontief dada por
dada por
, onde
e
Desenhe as curvas de nível da função de Lentief quando
e
.
Desenhe as curvas de nível da função de Lentief quando
Passo 1
O enunciado dá a função utilidade de Leontief
com
e
, e pede para desenhar as curvas de nível quando
e
.
O que é pedido especificamente:
- Traçar (descrever) as curvas de nível de
no primeiro quadrante quando e . - As curvas de nível são os conjuntos
para constantes .
Informações relevantes dadas:
- Função
. - Domínio é
com , . - Temos que caracterizar os conjuntos de nível
para .
Passo 2
O que são curvas de nível (explicação didática, sem pular etapas).
- Uma curva de nível para um valor
é o conjunto de pontos onde a função toma valor exatamente : isto é, . - A operação
significa que os dois números e são ambos maiores ou iguais a , e pelo menos um deles é igual a . Em símbolos: - Aqui
e . Logo vamos impor condições sobre e a partir dessa equivalência.
Passo 3
Aplicando a ideia ao nosso caso: escrever as condições que definem a curva de nível
.
Partindo de
, pelas regras do passo anterior temos
e pelo menos uma igualdade entre
ou
.
Isto dá duas possibilidades que, em conjunto, formam a curva de nível:
-
e . -
e .
Vamos escrever cada uma em termos de
e
.
Passo 4
Resolver as duas ramificações e interpretar geometricamente.
-
Da condição
e obtemos Geometricamente, isto é um segmento vertical (ou semi-reta) no planoque vai de até , mas lembrando que o domínio é . Para esse segmento começa no ponto de canto e segue para cima. -
Da condição
e obtemos Geometricamente, isto é um segmento horizontal (ou semi-reta) no planoque vai de até . -
Os dois conjuntos se encontram no ponto onde
e simultaneamente, ou seja no “canto” (kink)
Portanto, para cada
a curva de nível é um “L” (um canto reto) formado pela união do segmento vertical
e do segmento horizontal
.
Passo 5
Casos particulares e observações úteis para desenhar (exemplos numéricos e dicas de esboço).
-
Para
: significa e pelo menos um igual a . Como equivale a e equivale a , a curva de nível é a união dos eixos positivos: -
Exemplos para valores positivos (úteis para o esboço):
- Para
: canto em . Horizontal: para . Vertical: para . - Para
: canto em . Horizontal: para . Vertical: para . - Para
: canto em . Horizontal: para . Vertical: para .
- Para
-
Como desenhar no papel:
- Escolher alguns valores de
(por exemplo ). - Para cada
marcar o ponto-canto . - A partir desse ponto desenhar uma semi-reta horizontal para a direita (mantendo
) e uma semi-reta vertical para cima (mantendo ). Essas duas semi-retas formam o “L”. - Repetir para vários
; quanto maior maior será o deslocamento do canto (na direção nordeste).
- Escolher alguns valores de
-
Característica econômica (intuição leve): as curvas são rígidas em ângulo reto porque a utilidade é limitada pelo menor componente entre
e — ter mais de um bem além do ponto de canto não aumenta utilidade até que o outro bem aumente o mínimo.
Passo 6
Forma matemática final e representação paramétrica (útil para confirmar no desenho).
-
Para
, -
Para
,
Essas fórmulas são exatamente o que deve aparecer no esboço: uma família de cantos retos (L) que se deslocam para cima e para a direita quando
aumenta.
Resposta
Para
:
Para
: