Considere a função Utilidade de Leontief dada por U: \mathbb{R}_{\geq 0}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por U(x, y)=\min \{a x, b y\}, onde a>0 e b>0
Desenhe as curvas de nível da função de Lentief quando a=2 e b=3.

Passo 1

O enunciado dá a função utilidade de Leontief
U(x,y)=\min\{a x, b y\},
com a>0 e b>0, e pede para desenhar as curvas de nível quando a=2 e b=3.
O que é pedido especificamente:
  • Traçar (descrever) as curvas de nível de U no primeiro quadrante \mathbb{R}_{\ge 0}^{2} quando a=2 e b=3.
  • As curvas de nível são os conjuntos \{(x,y)\mid U(x,y)=k\} para constantes k\ge 0.
Informações relevantes dadas:
  • Função U(x,y)=\min\{2x,3y\}.
  • Domínio é (x,y) com x\ge 0, y\ge 0.
  • Temos que caracterizar os conjuntos de nível U(x,y)=k para k\ge 0.

Passo 2

O que são curvas de nível (explicação didática, sem pular etapas).
  • Uma curva de nível para um valor k é o conjunto de pontos (x,y) onde a função toma valor exatamente k: isto é, \min\{2x,3y\}=k.
  • A operação \min\{u,v\}=k significa que os dois números u e v são ambos maiores ou iguais a k, e pelo menos um deles é igual a k. Em símbolos: \min\{u,v\}=k \quad\Longleftrightarrow\quad u\ge k,\\ v\ge k,\\ \text{e}\\ (u=k\\ \text{ou}\\ v=k).
  • Aqui u=2x e v=3y. Logo vamos impor condições sobre x e y a partir dessa equivalência.

Passo 3

Aplicando a ideia ao nosso caso: escrever as condições que definem a curva de nível U(x,y)=k.
Partindo de \min\{2x,3y\}=k, pelas regras do passo anterior temos
2x\ge k,\qquad 3y\ge k,
e pelo menos uma igualdade entre 2x=k ou 3y=k.
Isto dá duas possibilidades que, em conjunto, formam a curva de nível:
  1. 2x=k e 3y\ge k.
  2. 3y=k e 2x\ge k.
Vamos escrever cada uma em termos de x e y.

Passo 4

Resolver as duas ramificações e interpretar geometricamente.
  • Da condição 2x=k e 3y\ge k obtemos
    x=\frac{k}{2},\qquad y\ge\frac{k}{3}.
    Geometricamente, isto é um segmento vertical (ou semi-reta) no plano x=\tfrac{k}{2} que vai de y=\tfrac{k}{3} até +\infty, mas lembrando que o domínio é y\ge 0. Para k>0 esse segmento começa no ponto de canto e segue para cima.
  • Da condição 3y=k e 2x\ge k obtemos
    y=\frac{k}{3},\qquad x\ge\frac{k}{2}.
    Geometricamente, isto é um segmento horizontal (ou semi-reta) no plano y=\tfrac{k}{3} que vai de x=\tfrac{k}{2} até +\infty.
  • Os dois conjuntos se encontram no ponto onde 2x=k e 3y=k simultaneamente, ou seja no “canto” (kink)
    \Bigl(x,y\Bigr)=\Bigl(\frac{k}{2},\frac{k}{3}\Bigr).
Portanto, para cada k>0 a curva de nível é um “L” (um canto reto) formado pela união do segmento vertical x=\tfrac{k}{2},\,y\ge\tfrac{k}{3} e do segmento horizontal y=\tfrac{k}{3},\,x\ge\tfrac{k}{2}.

Passo 5

Casos particulares e observações úteis para desenhar (exemplos numéricos e dicas de esboço).
  • Para k=0: \min\{2x,3y\}=0 significa 2x\ge0,\,3y\ge0 e pelo menos um igual a 0. Como 2x=0 equivale a x=0 e 3y=0 equivale a y=0, a curva de nível k=0 é a união dos eixos positivos:
    \{(x,0):x\ge0\}\\ \cup\\ \{(0,y):y\ge0\}.
  • Exemplos para valores positivos (úteis para o esboço):
    • Para k=1: canto em \bigl(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{3}\bigr). Horizontal: y=\tfrac{1}{3} para x\ge\tfrac{1}{2}. Vertical: x=\tfrac{1}{2} para y\ge\tfrac{1}{3}.
    • Para k=2: canto em \bigl(1,\tfrac{2}{3}\bigr). Horizontal: y=\tfrac{2}{3} para x\ge 1. Vertical: x=1 para y\ge\tfrac{2}{3}.
    • Para k=3: canto em \bigl(\tfrac{3}{2},1\bigr). Horizontal: y=1 para x\ge\tfrac{3}{2}. Vertical: x=\tfrac{3}{2} para y\ge 1.
  • Como desenhar no papel:
    1. Escolher alguns valores de k (por exemplo k=0,1,2,3).
    2. Para cada k marcar o ponto-canto \bigl(\tfrac{k}{2},\tfrac{k}{3}\bigr).
    3. A partir desse ponto desenhar uma semi-reta horizontal para a direita (mantendo y=\tfrac{k}{3}) e uma semi-reta vertical para cima (mantendo x=\tfrac{k}{2}). Essas duas semi-retas formam o “L”.
    4. Repetir para vários k; quanto maior k maior será o deslocamento do canto (na direção nordeste).
  • Característica econômica (intuição leve): as curvas são rígidas em ângulo reto porque a utilidade é limitada pelo menor componente entre 2x e 3y — ter mais de um bem além do ponto de canto não aumenta utilidade até que o outro bem aumente o mínimo.

Passo 6

Forma matemática final e representação paramétrica (útil para confirmar no desenho).
  • Para k>0,
    \{(x,y)\mid U(x,y)=k\}= \left\{(x,y)\mid x=\frac{k}{2},\\ y\ge\frac{k}{3}\right\}\\ \cup\\ \left\{(x,y)\mid y=\frac{k}{3},\\ x\ge\frac{k}{2}\right\}.
  • Para k=0,
    \{(x,y)\mid U(x,y)=0\}=\{(x,0):x\ge0\}\cup\{(0,y):y\ge0\}.
Essas fórmulas são exatamente o que deve aparecer no esboço: uma família de cantos retos (L) que se deslocam para cima e para a direita quando k aumenta.

Resposta

Para k>0:
\{(x,y)\mid U(x,y)=k\}= \left\{(x,y)\mid x=\frac{k}{2},\\ y\ge\frac{k}{3}\right\}\\ \cup\\ \left\{(x,y)\mid y=\frac{k}{3},\\ x\ge\frac{k}{2}\right\}.
Para k=0:
\{(x,y)\mid U(x,y)=0\}=\{(x,0):x\ge0\}\cup\{(0,y):y\ge0\}.

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