Considere a função vetorial alpha(t)=(cos t, sen t, t), t in(0 ; pi2)
Determine os vetores do triedro de Frenet de alpha em(12, raiz32, pi3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial definida para entre 0 e . A pergunta é: quais são os vetores do triedro de Frenet dessa curva no ponto ? Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre cálculo vetorial, especificamente sobre o triedro de Frenet, que envolve os vetores tangente, normal e binormal.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto dado . Olhando para a terceira coordenada, sabemos que .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente alpha'(t) = (-sen t, cos t, 1) no ponto. O vetor tangente é a derivada da função alpha'(pi3) = (-sen(pi3), cos(pi3), 1) = (-raiz32, 12, 1) em relação a |alpha'| = raiz(-raiz32)^2 + (12)^2 + 1^2 = raiz34 + 14 + 1 = raiz2 , normalizado.
Calculando a derivada primeira:
Em T = alpha'|alpha'| = (-raiz3/2raiz2, 1/2raiz2, 1raiz2) = (-raiz64, raiz24, raiz22) :
O tamanho desse vetor é:
Então, o vetor tangente é:

Passo 4

Em seguida, vamos encontrar o vetor normal alpha''(t) = (-cos t, -sen t, 0) . Para isso, precisamos da derivada do vetor tangente alpha''(pi3) = (-cos(pi3), -sen(pi3), 0) = (-12, -raiz32, 0) em relação a |alpha''| = raiz(-12)^2 + (-raiz32)^2 + 0^2 = raiz14 + 34 = 1 , normalizado.
Calculando a derivada de N = alpha''|alpha''| = (-12, -raiz32, 0) :
Em :
O vetor normal é a derivada de dividida pela sua norma. Calculando:
Então:

Passo 5

Por último, vamos encontrar o vetor binormal B = i & j & k -raiz64 & raiz24 & raiz22 -12 & -raiz32 & 0 = i(raiz24 cdot 0 - raiz22 cdot (-raiz32)) - j(-raiz64 cdot 0 - raiz22 cdot (-12)) + k(-raiz64 cdot (-raiz32) - raiz24 cdot (-12)) , que é o produto vetorial de B = (raiz64)i - (raiz24)j + (34 + raiz28)k e .
Calculando :
Simplificando:
Podemos simplificar ainda mais se necessário, mas esse é o vetor binormal.

Resposta

Os vetores do triedro de Frenet de T = (-raiz64, raiz24, raiz22) no ponto N = (-12, -raiz32, 0) são:
B = (raiz64, -raiz24, 34 + raiz28)

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