Determine se a série é convergente ou divergente. se for convergente, calcule sua soma
sumn=1^infty 19(13)^n-1

Passo 1

O exercício pede para analisar a série sumn=1^infty 19l(tfrac13r)^n-1, verificar se ela converge e, em caso afirmativo, calcular sua soma. O conteúdo utilizado será série geométrica e a fórmula de soma dessa série.

Passo 2

Observamos que a série é uma série geométrica de termo geral a,r^n-1 com a=tfrac19 (termo inicial) e razão r=tfrac13.

Passo 3

Para séries geométricas, sabemos que se |r|<1 a série converge; aqui |tfrac13|<1, portanto a série é convergente.

Passo 4

Usamos a fórmula da soma da série geométrica convergente:
S=a1-r
Substituindo a=tfrac19 e r=tfrac13:
S=1/91-1/3=1/92/3=19cdot32=16

Resposta

A série converge e sua soma é 1/6.

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