Considere a função vetorial alpha(t)=(cos t, sen t, t), t in(0 ; pi2)
Determine se alpha é ou não uma curva plana.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial definida para alpha(t) = (cos t, sen t, t) entre t e 0. A nossa missão é descobrir se essa curva é plana ou não. Isso envolve entender conceitos de geometria sobre curvas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser plana. Uma curva é considerada plana se todos os seus pontos estiverem contidos em um único plano. Em outras palavras, existe uma equação do tipo Ax + By + Cz + D = 0 que todos os pontos (x, y, z) da curva satisfazem.

Passo 3

Para verificar se nossa curva está contida em algum plano, vamos tentar encontrar uma relação linear entre alpha(t) = (cos t, sen t, t), x e y que seja válida para todos os valores de z no intervalo dado.
Vamos expressar t, x e y em termos de z:
  • t
  • x = cos t
Agora, precisamos ver se existe alguma combinação desses três que resulte em uma equação linear sem depender de y = sen t.

Passo 4

Observando as expressões, perceba que z = t. Se tentarmos eliminar t, podemos relacionar x e y:
Sabemos que , então:
cos^2 t + sen^2 t = 1
Essa é a equação de um círculo no plano x^2 + y^2 = 1. Entretanto, temos também xy, que não está diretamente relacionado a z = t e x de forma linear.

Passo 5

Como z = t está aumentando linearmente enquanto x e y descrevem um círculo, isso indica que para cada valor de t, o ponto (x, y, z) está subindo no eixo z. Isso forma uma hélice, que é uma curva no espaço tridimensional, não limitada a um único plano.

Passo 6

Outra forma de ver isso é calcular a torsão da curva. A torsão mede o quanto uma curva está “girando” para fora de um plano. Para curvas planas, a torsão é zero. No caso da nossa curva, a torsão não é zero, confirmando que ela não está contida em um único plano.

Resposta

A curva não é uma curva plana.

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