Considere a função vetorial
Determine se
é ou não uma curva plana.
Determine se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma função vetorial definida para
entre
e
. A nossa missão é descobrir se essa curva é plana ou não. Isso envolve entender conceitos de geometria sobre curvas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma curva ser plana. Uma curva é considerada plana se todos os seus pontos estiverem contidos em um único plano. Em outras palavras, existe uma equação do tipo
que todos os pontos
da curva satisfazem.
Passo 3
Para verificar se nossa curva está contida em algum plano, vamos tentar encontrar uma relação linear entre
,
e
que seja válida para todos os valores de
no intervalo dado.
Vamos expressar
,
e
em termos de
:
Agora, precisamos ver se existe alguma combinação desses três que resulte em uma equação linear sem depender de
.
Passo 4
Observando as expressões, perceba que
. Se tentarmos eliminar
, podemos relacionar
e
:
Sabemos que , então:
Essa é a equação de um círculo no plano
. Entretanto, temos também
, que não está diretamente relacionado a
e
de forma linear.
Passo 5
Como
está aumentando linearmente enquanto
e
descrevem um círculo, isso indica que para cada valor de
, o ponto
está subindo no eixo
. Isso forma uma hélice, que é uma curva no espaço tridimensional, não limitada a um único plano.
Passo 6
Outra forma de ver isso é calcular a torsão da curva. A torsão mede o quanto uma curva está “girando” para fora de um plano. Para curvas planas, a torsão é zero. No caso da nossa curva, a torsão não é zero, confirmando que ela não está contida em um único plano.
Resposta
A curva não é uma curva plana.