Considere a função vetorial alpha(t)=(cos t, sen t, t), t in(0 ; pi2)
A curva alpha está parametrizada pelo comprimento de arco?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva dada pela função vetorial , no intervalo , está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso está relacionado ao conteúdo de parametrização por comprimento de arco na matéria de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e verificar se a velocidade (o tamanho da derivada) é igual a 1 em todo o intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial alpha'(t) = ( ddt cos t, ddt sen t, ddt t ) em relação a alpha'(t) = (-sen t, cos t, 1) . A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o magnitude ou o tamanho dessa derivada, que representa a velocidade da curva. A fórmula para o tamanho de um vetor | alpha'(t) | = raiza^2 + b^2 + c^2 é:
| alpha'(t) | = raiz(-sen t)^2 + (cos t)^2 + (1)^2
Aplicando isso à nossa derivada:
Simplificando:

Passo 4

Sabemos, pela identidade trigonométrica, que:
Portanto:
sen^2 t + cos^2 t = 1

Resposta

A velocidade da curva é constante e igual a , que não é 1. Portanto, a curva não está parametrizada pelo comprimento de arco.

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