Considere a função vetorial
A curva
está parametrizada pelo comprimento de arco?
A curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a curva dada pela função vetorial , no intervalo
, está parametrizada pelo comprimento de arco. Isso está relacionado ao conteúdo de parametrização por comprimento de arco na matéria de cálculo vetorial. Para resolver, vamos precisar calcular a derivada da função vetorial e verificar se a velocidade (o tamanho da derivada) é igual a 1 em todo o intervalo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada da função vetorial
em relação a
. A derivada de uma função vetorial nos dá a velocidade da curva em cada ponto.
Calculando cada componente:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o magnitude ou o tamanho dessa derivada, que representa a velocidade da curva. A fórmula para o tamanho de um vetor
é:
Aplicando isso à nossa derivada:
Simplificando:
Passo 4
Sabemos, pela identidade trigonométrica, que:
Portanto:
Resposta
A velocidade da curva
é constante e igual a
, que não é 1. Portanto, a curva não está parametrizada pelo comprimento de arco.