Considere a função vetorial alpha(t)=(cos t, sen t, t), t in(0 ; pi2)
Mostre que alpha é uma curva parametrizada regular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial , onde alpha(t) = (cos t, sen t, t) está no intervalo de t a 0. O desafio é mostrar que essa função representa uma curva parametrizada regular. Regularidade aqui significa que a derivada da função nunca é o vetor zero nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e entender o que significa ter uma derivada nunca nula.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função alpha(t). A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente em relação a t. Então, temos:
Calculando cada derivada:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a derivada alpha'(t) nunca é o vetor zero no intervalo dado. Para isso, vamos analisar cada componente de alpha'(t).
Temos . Vamos ver se existe algum valor de alpha'(t) = (-sen t, cos t, 1) em t que faça com que todos os componentes sejam zero simultaneamente.
  • Para a primeira componente , isso ocorreria quando (0; pi2), mas -sen t = 0 está estritamente entre t = 0 e t.
  • Para a segunda componente 0, isso ocorreria quando pi2, mas novamente cos t = 0 está estritamente menor que t = pi2.
  • A terceira componente é sempre t, que nunca é zero.
Como não existe nenhum pi2 no intervalo que satisfaça todas as três componentes sendo zero ao mesmo tempo, concluímos que 1 nunca é o vetor zero nesse intervalo.

Resposta

Portanto, a função vetorial é uma curva parametrizada regular no intervalo alpha(t) = (cos t, sen t, t).

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