Considere a função vetorial
Mostre que
é uma curva parametrizada regular.
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial , onde
está no intervalo de
a
. O desafio é mostrar que essa função representa uma curva parametrizada regular. Regularidade aqui significa que a derivada da função nunca é o vetor zero nesse intervalo. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções vetoriais e entender o que significa ter uma derivada nunca nula.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada da função
. A derivada de uma função vetorial é obtida derivando cada componente separadamente em relação a
. Então, temos:
Calculando cada derivada:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a derivada
nunca é o vetor zero no intervalo dado. Para isso, vamos analisar cada componente de
.
Temos . Vamos ver se existe algum valor de
em
que faça com que todos os componentes sejam zero simultaneamente.
- Para a primeira componente , isso ocorreria quando
, mas está estritamente entre e . - Para a segunda componente
, isso ocorreria quando , mas novamente está estritamente menor que . - A terceira componente é sempre
, que nunca é zero.
Como não existe nenhum
no intervalo que satisfaça todas as três componentes sendo zero ao mesmo tempo, concluímos que
nunca é o vetor zero nesse intervalo.
Resposta
Portanto, a função vetorial é uma curva parametrizada regular no intervalo
.