Resolva as integrais por partes:
integral e^9 x cos (2 x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral e^9xcos(2x),dx usando integração por partes. O conteúdo é aplicação da fórmula
integral u,dv = u v - integral v,du
Vamos precisar aplicar essa fórmula duas vezes e resolver a equação resultante para encontrar a integral.

Passo 2

Definimos u1 = e^9x e dv1 = cos(2x),dx. Assim du1 = 9e^9x,dx e, integrando, v1 = tfrac12sin(2x). Pela fórmula de partes:
I = integral e^9xcos(2x),dx = tfrac12e^9xsin(2x) - tfrac92integral e^9xsin(2x),dx

Passo 3

Chamando K = integral e^9xsin(2x),dx, aplicamos IBP de novo com u2 = e^9x e dv2 = sin(2x),dx. Então du2 = 9e^9x,dx e v2 = -tfrac12cos(2x). Logo:
K = -tfrac12e^9xcos(2x) + tfrac92integral e^9xcos(2x),dx = -tfrac12e^9xcos(2x) + tfrac92 I

Passo 4

Substituindo K na expressão de I:
I = tfrac12e^9xsin(2x) - tfrac92K = tfrac12e^9xsin(2x) + tfrac94e^9xcos(2x) - tfrac814 I
Somando tfrac814I em ambos os lados resulta:
tfrac854I = tfrace^9x4l(2sin(2x) + 9cos(2x)r)

Resposta

e^9x85l(9cos(2x) + 2sin(2x)r) + C

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