Suponha que a sequência
definida pela relação de recorrência
seja crescente e
para todo
.
A sequência
é convergente? Justifique!
A sequência
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência
onde o primeiro termo é
e cada termo seguinte é definido por
. Além disso, sabemos que essa sequência é crescente (ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior) e que todos os termos estão entre 2 e 6. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um valor específico à medida que continuamos calculando seus termos, ou seja, se ela é convergente.
Passo 2
Para determinar se a sequência é convergente, podemos usar um conceito importante da matemática: teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas. Esse teorema diz que toda sequência que é monótona (crescente ou decrescente) e que está limitada (não cresce ou diminui indefinidamente) sempre converge para algum valor. No nosso caso, já sabemos que
é crescente e que cada termo está entre 2 e 6, o que significa que a sequência está limitada. Portanto, de acordo com o teorema, podemos concluir que essa sequência é convergente.
Passo 3
Agora que sabemos que a sequência converge, vamos descobrir para qual valor ela está convergindo. Para isso, vamos supor que a sequência converge para um limite
. Isso significa que, quando
fica muito grande, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de
. Usando a relação de recorrência dada:
Vamos resolver essa equação para encontrar
:
- Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador:
- Subtraímos
de ambos os lados: - Simplificamos:
Resposta
Sim, a sequência
é convergente e seu limite é
.