Suponha que a sequência an definida pela relação de recorrência
a1=2 an+1=an+62 para n=1,2,3, ldots
seja crescente e 2 <= an<6 para todo n.
A sequência an é convergente? Justifique!

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos uma sequência an onde o primeiro termo é a1 = 2 e cada termo seguinte é definido por an+1 = an + 62. Além disso, sabemos que essa sequência é crescente (ou seja, cada termo é maior ou igual ao anterior) e que todos os termos estão entre 2 e 6. Nosso objetivo aqui é descobrir se essa sequência chega a um valor específico à medida que continuamos calculando seus termos, ou seja, se ela é convergente.

Passo 2

Para determinar se a sequência é convergente, podemos usar um conceito importante da matemática: teorema da convergência de sequências monótonas e limitadas. Esse teorema diz que toda sequência que é monótona (crescente ou decrescente) e que está limitada (não cresce ou diminui indefinidamente) sempre converge para algum valor. No nosso caso, já sabemos que an é crescente e que cada termo está entre 2 e 6, o que significa que a sequência está limitada. Portanto, de acordo com o teorema, podemos concluir que essa sequência é convergente.

Passo 3

Agora que sabemos que a sequência converge, vamos descobrir para qual valor ela está convergindo. Para isso, vamos supor que a sequência converge para um limite L. Isso significa que, quando n fica muito grande, os termos da sequência se aproximam cada vez mais de L. Usando a relação de recorrência dada:
L = L + 62
Vamos resolver essa equação para encontrar L:
  1. Multiplicamos ambos os lados por 2 para eliminar o denominador: 2L = L + 6
  2. Subtraímos L de ambos os lados: 2L - L = 6
  3. Simplificamos: L = 6

Resposta

Sim, a sequência an é convergente e seu limite é 6.

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