Determine a solução do PVI
y^prime+1raizx y & =e^raizx / 2 y(0) & =8 / 25
(Resp. y(x)=(45 raizx-825) e^raizx / 2+1625 e^-2 raizx)

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI y'+1raizxy = e^raizx/2 com condição inicial y(0)=8/25. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.

Passo 2

Identificamos P(x)=1raizx e Q(x)=e^raizx/2. O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x)dx=e^integral!1/raizx,dx=e^2raizx.

Passo 3

Multiplicamos a EDO por mu(x). Ficamos com e^2raizxy' + 1raizxe^2raizxy = e^2raizxe^raizx/2. O lado esquerdo é a derivada de y e^2raizx:
ddxl(y e^2raizxr) = e^2raizx+raizx2 = e^52raizx

Passo 4

Integramos ambos os lados:
y e^2raizx = integral e^52raizx,dx + C

Passo 5

Para calcular integral e^52raizxdx, fazemos a troca t=raizx, então dx=2t,dt. A integral vira
integral e^52tcdot2t,dt = 2integral t e^52tdt

Passo 6

Usamos integração por partes em integral t e^52tdt:\ seja u=t, dv=e^52tdt du=dt, v=tfrac25e^52t. Assim:
integral t e^52tdt = tcdot25e^52t - integral!25e^52tdt = e^52tl(2t5-425r)+C'

Passo 7

Voltando a x, obtemos
integral e^52raizxdx = 2e^52raizxl(2raizx5-425r)+C = e^52raizxl(4raizx5-825r)+C

Passo 8

Logo
y e^2raizx = e^52raizxl(4raizx5-825r)+C

Passo 9

Dividindo por e^2raizx, a solução geral é
y(x)=l(4raizx5-825r)e^raizx2 + C e^-2raizx

Passo 10

Aplicando y(0)=8/25: para x=0 temos y(0)=-tfrac825+C=tfrac825, logo C=tfrac1625.

Resposta

y(x)=l(45raizx-825r)e^raizx2+1625e^-2raizx

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