Resumo do enunciado: temos o PVIy'+1raizxy = e^raizx/2 com condição inicial y(0)=8/25. O conteúdo é EDO linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante.
Passo 2
Identificamos P(x)=1raizx e Q(x)=e^raizx/2. O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x)dx=e^integral!1/raizx,dx=e^2raizx.
Passo 3
Multiplicamos a EDO por mu(x). Ficamos com e^2raizxy' + 1raizxe^2raizxy = e^2raizxe^raizx/2. O lado esquerdo é a derivada de y e^2raizx:
ddxl(y e^2raizxr) = e^2raizx+raizx2 = e^52raizx
Passo 4
Integramos ambos os lados:
y e^2raizx = integral e^52raizx,dx + C
Passo 5
Para calcular integral e^52raizxdx, fazemos a troca t=raizx, então dx=2t,dt. A integral vira
integral e^52tcdot2t,dt = 2integral t e^52tdt
Passo 6
Usamos integração por partes em integral t e^52tdt:\ seja u=t, dv=e^52tdt ⇒ du=dt, v=tfrac25e^52t. Assim:
integral t e^52tdt = tcdot25e^52t - integral!25e^52tdt = e^52tl(2t5-425r)+C'
Passo 7
Voltando a x, obtemos
integral e^52raizxdx = 2e^52raizxl(2raizx5-425r)+C = e^52raizxl(4raizx5-825r)+C
Passo 8
Logo
y e^2raizx = e^52raizxl(4raizx5-825r)+C
Passo 9
Dividindo por e^2raizx, a solução geral é
y(x)=l(4raizx5-825r)e^raizx2 + C e^-2raizx
Passo 10
Aplicando y(0)=8/25: para x=0 temos y(0)=-tfrac825+C=tfrac825, logo C=tfrac1625.