Considere a função vetorial
Calcule a curvatura de
no ponto do item anterior. A curvatura de
é constante?
Calcule a curvatura de
Passo 1
A questão dá a curva vetorial
em
e pede a curvatura
. Vamos usar a definição de curvatura para curvas em
:
A curvatura
é dada por
Passo 2
Para encontrar
e
, derivamos componente a componente:
Isso é direto da derivada de
,
e
.
Passo 3
Agora calculamos o produto vetorial
. Montando o determinante:
Em seguida, sua norma é
Passo 4
Por fim, calculamos
|alpha'(t)| e substituímos na fórmula de
kappa :
Logo,
Passo 5
Observamos que
kappa(t)=tfrac12 independe de
t , ou seja, a curvatura é constante ao longo da curva.
Resposta
A curvatura é
kappa(t)=tfrac12 , que de fato é constante.