Considere a função vetorial alpha(t)=(cos t, sen t, t), t in(0 ; pi2)
Calcule a curvatura de alpha no ponto do item anterior. A curvatura de alpha é constante?

Passo 1

A questão dá a curva vetorial alpha(t) = (cos t,,sin t,,t) em tin(0,pi/2) e pede a curvatura kappa(t). Vamos usar a definição de curvatura para curvas em R^3:
A curvatura kappa(t) é dada por
kappa(t) = |alpha'(t)timesalpha''(t)||alpha'(t)|^3

Passo 2

Para encontrar alpha'(t) e alpha''(t), derivamos componente a componente:
alpha'(t) = (-sin t,,cos t,,1),
alpha''(t) = (-cos t,,-sin t,,0)
Isso é direto da derivada de cos t, sin t e t.

Passo 3

Agora calculamos o produto vetorial alpha'(t)timesalpha''(t). Montando o determinante:
alpha'(t)timesalpha''(t) = i & j & k -sin t & cos t & 1 -cos t & -sin t & 0 = (sin t,,-cos t,,1)
Em seguida, sua norma é
|alpha'(t)timesalpha''(t)| = raizsin^2 t + (-cos t)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2

Passo 4

Por fim, calculamos |alpha'(t)| e substituímos na fórmula de kappa:
|alpha'(t)| = raiz(-sin t)^2 + (cos t)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
Logo,
kappa(t) = raiz2(raiz2)^3 = raiz22raiz2 = tfrac12

Passo 5

Observamos que kappa(t)=tfrac12 independe de t, ou seja, a curvatura é constante ao longo da curva.

Resposta

A curvatura é kappa(t)=tfrac12, que de fato é constante.

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