Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
a) y=c x(Resp x^2+y^2=c2^2)

Passo 1

O enunciado pede para achar as curvas que cortam ortogonalmente a família dada por y = c x. O conteúdo é de trajetórias ortogonais, então vamos precisar da equação diferencial da família original e da condição de ortogonalidade (produto dos declives igual a –1).

Passo 2

Começamos encontrando a equação diferencial da família inicial. Diferenciando em relação a x temos:
y = c,x implies dydx = c
Mas pela equação original também vale c = y/x. Substituindo,
dydx = yx

Passo 3

Para a família ortogonal, o declive em cada ponto deve ser o negativo do inverso do declive original. Logo:
dydx|perp = -1(dy/dx) = -xy

Passo 4

Obtivemos então a equação diferencial da família ortogonal:
dydx = -xy

Passo 5

Essa equação é separável. Separamos as variáveis e integramos:
y,dy = -x,dx implies integral y,dy = -integral x,dx

Passo 6

Fazendo as integrais:
y^22 = -x^22 + K,
onde K é constante de integração. Multiplicando tudo por 2 e reorganizando,
x^2 + y^2 = C,
com C = 2K abrindo lugar a um novo parâmetro constante.

Resposta

x^2 + y^2 = c2^2

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