Nos itens abaixo, encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas dada.
a)
a)
Passo 1
O enunciado pede para achar as curvas que cortam ortogonalmente a família dada por y = c x. O conteúdo é de trajetórias ortogonais, então vamos precisar da equação diferencial da família original e da condição de ortogonalidade (produto dos declives igual a –1).
Passo 2
Começamos encontrando a equação diferencial da família inicial. Diferenciando em relação a x temos:
Mas pela equação original também vale c = y/x. Substituindo,
Passo 3
Para a família ortogonal, o declive em cada ponto deve ser o negativo do inverso do declive original. Logo:
Passo 4
Obtivemos então a equação diferencial da família ortogonal:
Passo 5
Essa equação é separável. Separamos as variáveis e integramos:
Passo 6
Fazendo as integrais:
onde K é constante de integração. Multiplicando tudo por 2 e reorganizando,
com C = 2K abrindo lugar a um novo parâmetro constante.