Considere a função vetorial alpha(t)=(t, sen tt, cos tpi2-t), t in(0 ; pi2)
Determine lim t 0^+ alpha(t) e lim t pi2^- alpha(t).

Passo 1

O enunciado pede para achar os limites laterais de uma função vetorial \\n no intervalo \\n. Vamos usar que o limite de uma função vetorial é dado limite de cada componente e recorrer a limites elementares do cálculo infinitesimal.

Passo 2

Para funções vetoriais, vale que \\n Aqui limtto aalpha(t) = l(limtto ax(t),limtto ay(t),limtto az(t)r)n, x(t)=t e y(t)=sin tt.

Passo 3

Vamos calcular primeiro \\n\lim_{t\to0^+}y(t)\$ e \\n\lim_{t\to0^+}t = 0\\lim_{t\to0^+}\frac{\sin t}{t} = 1\$ (limite clássico) e para \\n$z(t)\$ fazemos: \\n(\lim_{t\to0^+}\frac{\cos t}{\tfrac{\pi}{2}-t} = \frac{\cos0}{\tfrac{\pi}{2}-0} = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}.\\n]

Passo 4

Portanto \\n(\lim_{t\to0^+}\alpha(t) = \bigl(0,,1,,\tfrac{2}{\pi}\bigr).\\n]

Passo 5

Agora calculemos \\n\lim_{t\to\tfrac{\pi}{2}^-}y(t)\$ e \\n$\lim_{t\to\tfrac{\pi}{2}^-}z(t)\$. Temos \\n(\lim_{t\to\tfrac{\pi}{2}^-}t = \tfrac{\pi}{2},\\n\
\lim_{t\to\tfrac{\pi}{2}^-}\frac{\sin t}{t} = \frac{\sin(\tfrac{\pi}{2})}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{1}{\tfrac{\pi}{2}} = \frac{2}{\pi}.\\n]

Passo 6

Para z(t)=cos ttfracpi2-t, note que ao aproximar ttotfracpi2^- podemos pôr \\n$u = \tfrac{\pi}{2}-t\to0^+\$ e então $\cos t = \cos(\tfrac{\pi}{2}-u)=\sin u\$ que se comporta como $u\$. Logo \\n(\lim_{t\to\tfrac{\pi}{2}^-}\frac{\cos t}{\tfrac{\pi}{2}-t} = \lim_{u\to0^+}\frac{\sin u}{u} = 1.\\n]

Passo 7

Assim \\n(\lim_{t\to\tfrac{\pi}{2}^-}\alpha(t) = \bigl(\tfrac{\pi}{2},,\tfrac{2}{\pi},,1\bigr).\\n]

Resposta

limtto0^+alpha(t)=l(0,1,tfrac2pir) e limttotfracpi2^-alpha(t)=l(tfracpi2,tfrac2pi,1r).

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