Considere a função vetorial alpha(t)=(t, sen tt, cos tpi2-t), t in(0 ; pi2)
alpha está parametrizada pelo comprimento de arco?

Passo 1

Temos a curva vetorial alpha(t) = l(t,,sin tt,,cos tpi2-tr) com tin(0,pi2). O conteúdo aqui é parametrização por comprimento de arco, ou seja, a curva está parametrizada por arc-length se, e somente se, a velocidade |alpha'(t)| for identicamente igual a 1.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas de cada componente de alpha(t):
Primeira componente:
ddtl(tr) = 1
Segunda componente f(t)=sin tt:
f'(t) = tcos t - sin tt^2
Terceira componente g(t)=cos tpi2-t:
g'(t)= -sin tpi2-t + cos tl(pi2-tr)^2 = -sin tl(pi2-tr) + cos tl(pi2-tr)^2
Logo,
alpha'(t) = l(1,,tcos t - sin tt^2,,-sin tl(pi2-tr) + cos tl(pi2-tr)^2r)

Passo 3

Para ver se |alpha'(t)|=1, basta montar:
|alpha'(t)|^2 = 1^2 + l(tcos t - sin tt^2r)^2 + l(-sin tl(pi2-tr) + cos tl(pi2-tr)^2r)^2
Esse valor não é constante igual a 1 (por exemplo, em t=1 dá aproximadamente 1,125). Como a velocidade não é igual a 1 para todo t, o parâmetro t não é o comprimento de arco.

Resposta

Não, pois a norma da derivada |alpha'(t)| não é igual a 1.

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