Uma partícula desloca-se no espaço, de modo que sua posição é dada em função do tempo pela seguinte função gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0 (Suponha que o sistema de eixos está graduado segundo o sistema métrico e que o tempo seja dado em segundos). Determine:
c) a aceleração centrípeta da partícula no instante t=pi.

Passo 1

O enunciado dá a lei horária de uma partícula no espaço gamma(t)=(tcos t,,tsin t,,t) e pede a aceleração centrípeta em t=pi. O conteúdo é cinemática vetorial: vamos precisar derivar para obter velocidade e aceleração, lembrar que a aceleração centrípeta é a componente da aceleração que muda apenas a direção da velocidade e usar produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Para começar, derivamos gamma(t) para achar a velocidade v(t)=gamma'(t) e depois derivamos v(t) para achar a aceleração a(t)=v'(t):
v(t)=l(cos t - tsin t,;sin t + tcos t,;1r),
a(t)=l(-2sin t - tcos t,;2cos t - tsin t,;0r)

Passo 3

A aceleração centrípeta (ou normal) é a parte da aceleração perpendicular à velocidade. Uma forma prática de obter sua magnitude é usar:
ac=|,vtimes a||v|,
pois vtimes a tem módulo igual a |v||aperp|.

Passo 4

Agora avaliamos v(t) e a(t) em t=pi:
v(pi)=(-1,,-pi,,1),
a(pi)=(pi,,-2,,0)

Passo 5

Por fim, calculamos o produto vetorial e as normas:
v(pi)times a(pi)=(2,,pi,,2+pi^2),
|v(pi)times a(pi)|=raizpi^4+5pi^2+8,
|v(pi)|=raizpi^2+2
Então a magnitude da aceleração centrípeta é
ac=raizpi^4+5pi^2+8raizpi^2+2

Resposta

A aceleração centrípeta em t=pi tem magnitude
ac=dfracraizpi^4+5pi^2+8raizpi^2+2

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