Uma partícula desloca-se no espaço, de modo que sua posição é dada em função do tempo pela seguinte função gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0 (Suponha que o sistema de eixos está graduado segundo o sistema métrico e que o tempo seja dado em segundos). Determine:
b) a velocidade escalar da partícula no instante t=pi2 s.

Passo 1

O enunciado diz que a posição da partícula é dada por gamma(t)=(tcos t,;tsent,;t) para t>=0, e pede a velocidade escalar (ou seja, o módulo da velocidade) no instante t=pi/2. Vamos usar derivada de função vetorial e norma de vetor.

Passo 2

Primeiro calculamos o vetor velocidade gamma'(t) componente a componente, usando a regra do produto para tcos t e tsent, e derivada simples para t:
gamma'(t)=l(cos t - tsin t,;sent + tcos t,;1r)
Em seguida, a velocidade escalar é o módulo de gamma'(t), isto é:
|gamma'(t)|=raiz(cos t - tsin t)^2 + (sent + tcos t)^2 + 1^2

Passo 3

Agora basta avaliar em t=pi/2. Sabendo que cos(pi/2)=0 e sen(pi/2)=1, os componentes ficam



Logo a velocidade escalar é
$$|\gamma

Passo 4

(\tfrac{\pi}{2})|=\sqrt{\bigl(-\tfrac{\pi}{2}\bigr)2+12+12}=\sqrt{\tfrac{\pi2}{4}+2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{\pi^2+8}.$$

Resposta

tfrac12raizpi^2+8 m/s

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