Considere a função vetorial gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0.
Determine gamma(0) e o triedro T, N, B para t=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto gamma(0) e o triedro T, N, B para t=0, onde a função vetorial é dada por , com gamma(t) = (t cos t, t sen t, t). Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e entender o que é o triedro de Frenet, que são os vetores tangente, normal e binormal de uma curva no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar gamma(0). Isso é simples: basta substituir t por 0 na função gamma(t).
Então, o ponto gamma(0) = (0 cdot cos 0, 0 cdot sen 0, 0) = (0, 0, 0) é a origem do sistema de coordenadas, ou seja, gamma(0).

Passo 3

Agora, para encontrar o triedro T, N, B em t=0, precisamos calcular algumas derivadas da função gamma(t).
Primeiro, achamos a primeira derivada de gamma(t), que nos dá o vetor velocidade da curva:
Em seguida, calculamos a segunda derivada de gamma'(t) = ( ddt[t cos t], ddt[t sen t], ddt[t] ) = (cos t - t sen t, sen t + t cos t, 1) , que nos dá a aceleração:

Passo 4

O vetor tangente T é a unidade do vetor velocidade gamma'(t). Para encontrar T(0), primeiro calculamos gamma'(0):
Agora, normalizamos esse vetor para obter gamma'(0) = (cos 0 - 0 cdot sen 0, sen 0 + 0 cdot cos 0, 1) = (1, 0, 1) :
T(0)
O vetor normal T(0) = gamma'(0)||gamma'(0)|| = (1, 0, 1)raiz1^2 + 0^2 + 1^2 = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ) é a derivada do vetor tangente N em relação a T(t), dividida pela sua magnitude. Mas para simplificar, vamos usar a fórmula:
t
Calculando em N(t) = gamma''(t)||gamma''(t)|| :
Normalizando:
t=0
Por fim, o vetor binormal gamma''(0) = (-2 sen 0 - 0 cdot cos 0, 2 cos 0 - 0 cdot sen 0, 0) = (0, 2, 0) é o produto vetorial de N(0) = (0, 2, 0)|| (0, 2, 0) || = ( 0, 1, 0 ) e B:
T

Resposta

gamma(0) = (0, 0, 0)
O triedro em t=0 é dado por:
T(0) = ( 1raiz2, 0, 1raiz2 ), N(0) = (0, 1, 0), B(0) = ( -1raiz2, 0, 1raiz2 )

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