Considere a função vetorial
.
Determine
e o triedro
para
.
Determine
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto
e o triedro
para
, onde a função vetorial é dada por , com
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, como derivadas, e entender o que é o triedro de Frenet, que são os vetores tangente, normal e binormal de uma curva no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. Isso é simples: basta substituir
por
na função
.
Então, o ponto
é a origem do sistema de coordenadas, ou seja,
.
Passo 3
Agora, para encontrar o triedro
em
, precisamos calcular algumas derivadas da função
.
Primeiro, achamos a primeira derivada de
, que nos dá o vetor velocidade da curva:
Em seguida, calculamos a segunda derivada de
, que nos dá a aceleração:
Passo 4
O vetor tangente
é a unidade do vetor velocidade
. Para encontrar
, primeiro calculamos
:
Agora, normalizamos esse vetor para obter
:
O vetor normal
é a derivada do vetor tangente
em relação a
, dividida pela sua magnitude. Mas para simplificar, vamos usar a fórmula:
Calculando em
:
Normalizando:
Por fim, o vetor binormal
é o produto vetorial de
e
:
Resposta
O triedro em
é dado por: