Resolvam as questōes a seguir, apresentando todos os argumentos.
Calcule a derivada da função f(x)=5 x^3-3 x^2+x-2, utilizando a definiçāo.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f(x)=5x^3-3x^2+x-2 usando a definição formal de derivada. O conteúdo é derivada de polinômio e vamos usar a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h

Passo 2

Para começar, substituímos x por x+h em f e expandimos usando o binômio de Newton:
f(x+h)=5(x+h)^3-3(x+h)^2+(x+h)-2
=5l(x^3+3x^2h+3xh^2+h^3r)-3l(x^2+2xh+h^2r)+x+h-2
=5x^3+15x^2h+15xh^2+5h^3-3x^2-6xh-3h^2+x+h-2

Passo 3

Agora montamos o numerador do quociente de diferença e cancelamos termos iguais a f(x)=5x^3-3x^2+x-2:
f(x+h)-f(x)=l(5x^3+15x^2h+15xh^2+5h^3-3x^2-6xh-3h^2+x+h-2r) -l(5x^3-3x^2+x-2r)
Ao subtrair, os termos 5x^3, -3x^2, x e -2 se cancelam, sobrando:
15x^2h+15xh^2+5h^3-6xh-3h^2+h

Passo 4

Dividimos esse resultado por h e fatoramos h em cada termo:
f(x+h)-f(x)h =15x^2h+15xh^2+5h^3-6xh-3h^2+hh
=15x^2+15xh+5h^2-6x-3h+1

Passo 5

Por fim, aplicamos o limite quando hto0. Os termos que contêm h vão a zero, ficando:
f'(x)=limhto0(15x^2+15xh+5h^2-6x-3h+1)=15x^2-6x+1

Resposta

f'(x)=15x^2-6x+1

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