Considere a função vetorial
.
Mostre que o traço de
está contido na superfície de um cone circular.
Mostre que o traço de
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial para
. O que precisamos fazer é mostrar que o caminho dessa função está dentro de um cone circular. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de superfícies cônicas, e manipular as componentes da função para encontrar uma relação que caracterize um cone.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as componentes da função
de forma mais clara:
Isso significa que:
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar o parâmetro
para ligar
,
e
diretamente. Observamos que
, o que nos permite substituir
por
nas outras duas equações:
Passo 4
Agora, queremos relacionar
,
e
de maneira que a equação se pareça com a de um cone circular. A forma padrão da equação de um cone circular é:
onde
é uma constante que determina a abertura do cone.
Passo 5
Vamos calcular
usando as expressões que encontramos:
Aqui usamos a identidade trigonométrica .
Passo 6
Agora, temos que:
Isso se encaixa perfeitamente na forma do cone circular que mencionamos antes, onde
. Portanto, a relação entre
,
e
satisfaz a equação de um cone circular com
.
Resposta
Assim, concluímos que o traço da função vetorial
está contido na superfície de um cone circular dado por
.