Considere a função vetorial gamma(t)=(t cos t, t sen t, t), t >= 0.
Mostre que o traço de gamma está contido na superfície de um cone circular.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a função vetorial para gamma(t) = (t cos t, t sen t, t). O que precisamos fazer é mostrar que o caminho dessa função está dentro de um cone circular. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre as equações de superfícies cônicas, e manipular as componentes da função para encontrar uma relação que caracterize um cone.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as componentes da função gamma(t) de forma mais clara:
Isso significa que:

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar o parâmetro t para ligar x, y e z diretamente. Observamos que z = t, o que nos permite substituir t por z nas outras duas equações:

Passo 4

Agora, queremos relacionar x, y e z de maneira que a equação se pareça com a de um cone circular. A forma padrão da equação de um cone circular é:
x^2 + y^2 = k z^2
onde k é uma constante que determina a abertura do cone.

Passo 5

Vamos calcular x^2 + y^2 usando as expressões que encontramos:
Aqui usamos a identidade trigonométrica .

Passo 6

Agora, temos que:
x^2 + y^2 = z^2
Isso se encaixa perfeitamente na forma do cone circular que mencionamos antes, onde k = 1. Portanto, a relação entre x, y e z satisfaz a equação de um cone circular com k = 1.

Resposta

Assim, concluímos que o traço da função vetorial gamma(t) está contido na superfície de um cone circular dado por x^2 + y^2 = z^2.

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