Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy
x^2y'' - x y' + y = 2x,
usando a teoria das equações CE (Euler–Cauchy) e o método de variação de parâmetros (MVP). Vamos precisar:
• Reconhecer que é uma equação de Euler, em que tentamos uma solução do tipo y=x^r para a parte homogênea.
• Normalizar a equação para aplicar o MVP: escrever na forma y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x).
• Calcular a solução homogênea, o Wronskiano e usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter a parte particular.

Passo 2

Para a homogênea, fazemos o “ansatz” y=x^r. Substituindo:
x^2(r(r-1)x^r-2) - x(r x^r-1) + x^r = 0
que simplifica para
r(r-1) - r + 1 = 0 ,Longrightarrow, (r-1)^2=0
Portanto temos raiz dupla r=1 e a solução homogênea é
yh(x) = C1x + C2igl(x,ln xr) 

Passo 3

Dividimos toda a equação original por x^2 para colocar no formato padrão:
y'' - 1xy' + 1x^2y = 2xx^2 = 2x
Aqui
p(x)=-1x, q(x)=1x^2, g(x)=2x

Passo 4

No MVP para duas soluções y1,y2 da homogênea, assumimos
yp=u1(x)y1(x)+u2(x)y2(x)
com
y1(x)=x,
y2(x)=x,ln x
E impomos o sistema
u1'(x)y1+u2'(x)y2=0, u1'(x)y1'+u2'(x)y2'=g(x)

Passo 5

Calculamos o Wronskiano:
W = y1&y2y1'&y2' = x & xln x1 & ln x +1 = x(ln x +1) - xln x = x
As fórmulas do MVP dão
u1' = -y2,gW = -(xln x),(2/x)x = -2ln xx,
u2' = y1,gW = x,(2/x)x = 2x

Passo 6

Integramos para achar u1,u2:
Para u1:
u1(x)=integral -2ln xx,dx
Fazendo t=ln x,,dt=dx/x,
u1 = -2integral t,dt = -t^2 = -l(ln xr)^2
Para u2:
u2(x)=integral 2x,dx = 2ln x

Passo 7

Formamos então a parte particular:
yp = u1y1 + u2y2 = l[-(ln x)^2r],x + l[2ln xr],(xln x) = x(ln x)^2
Combinando com a homogênea, obtemos a solução geral.

Passo 8

A solução geral da EDO é dada por

Passo 9

Resposta

y(x)=C1x + C2x,ln x + x(ln x)^2.

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