Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de Euler–Cauchy
usando a teoria das equações CE (Euler–Cauchy) e o método de variação de parâmetros (MVP). Vamos precisar:
• Reconhecer que é uma equação de Euler, em que tentamos uma solução do tipo para a parte homogênea.
• Normalizar a equação para aplicar o MVP: escrever na forma .
• Calcular a solução homogênea, o Wronskiano e usar as fórmulas de variação de parâmetros para obter a parte particular.
Passo 2
Para a homogênea, fazemos o “ansatz” . Substituindo:
que simplifica para
Portanto temos raiz dupla e a solução homogênea é
Passo 3
Dividimos toda a equação original por para colocar no formato padrão: