Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=x^4 e^x

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de Euler–Cauchy
x^2y''-2x y'+2y = x^4e^x
O conteúdo é Equação de Cauchy–Euler e vamos usar o Método de Variação de Parâmetros para achar uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea assumimos uma solução do tipo y=x^r. Substituindo em
x^2r(r-1)x^r-2-2xcdot r x^r-1+2x^r=0
encontramos o polinômio característico
r(r-1)-2r+2=r^2-3r+2=0
que tem raízes r=1 e r=2. Logo
yh(x)=C1x + C2x^2

Passo 3

Para aplicar Variação de Parâmetros primeiro colocamos a EDO na forma padrão dividindo por x^2:
$$y’’-\frac{2}{x}y’+\frac{2}{x^{2}}y = x{2}e{x}.
$$
As soluções fundamentais são y''-2xy'+2x^2y = x^2e^x e y1=x.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano
$$W= W=y1&y2y1'&y2'=x & x^21 & 2x=xcdot2x - x^2cdot1 = x^2 = u1'=-y2,g(x)W=-x^2cdot x^2e^xx^2=-x^2e^x,=x\cdot2x - x^{2}\cdot1 = x^{2}.
u2'=y1,g(x)W=xcdot x^2e^xx^2=x e^x,óçãâãu_{1}’=-\frac{y_{2},g(x)}{W}=-\frac{x^{2}\cdot x{2}e{x}}{x{2}}=-x{2}e^{x},$$
g(x)=x^2e^x
onde .

Passo 5

Integramos agora:
u1(x)=integral -x^2e^x,dx=-(x^2-2x+2)e^x,
u2(x)=integral x e^x,dx=(x-1)e^x,
ignorando constantes de integração, pois só precisamos de uma particular.

Passo 6

A solução particular é
$$y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=-(x{2}-2x+2)e{x}\cdot x , + , (x-1)e^{x}\cdot x^{2} =(x{2}-2x)e{x}.
$$
Então a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.

Resposta

y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{2} + (x{2}-2x)e{x}

Exercícios relacionados