Utilize a teoria das equações CE e o MVP para calcular as soluções gerais das EDOs abaixo. Cada uma das soluções deve ser justificada detalhadamente.
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO de Euler–Cauchy
O conteúdo é Equação de Cauchy–Euler e vamos usar o Método de Variação de Parâmetros para achar uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea assumimos uma solução do tipo
. Substituindo em
encontramos o polinômio característico
que tem raízes
e
. Logo
Passo 3
Para aplicar Variação de Parâmetros primeiro colocamos a EDO na forma padrão dividindo por
:
$$y’’-\frac{2}{x}y’+\frac{2}{x^{2}}y = x{2}e{x}.
$$
As soluções fundamentais são e
.
As soluções fundamentais são
Passo 4
Calculamos o Wronskiano
$$W=
=
u1'=-y2,g(x)W=-x^2cdot x^2e^xx^2=-x^2e^x, =x\cdot2x - x^{2}\cdot1 = x^{2}.
onde
Passo 5
Integramos agora:
ignorando constantes de integração, pois só precisamos de uma particular.
Passo 6
A solução particular é
$$y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}=-(x{2}-2x+2)e{x}\cdot x , + , (x-1)e^{x}\cdot x^{2} =(x{2}-2x)e{x}.
$$
Então a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.
Então a solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular.
Resposta
y(x)=C_{1}x + C_{2}x^{2} + (x{2}-2x)e{x}