Considere a função vetorial
. Calcule o limite
e interprete o resultado.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos uma função vetorial dada por
. A tarefa é calcular o limite:
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o conceito de derivada vetorial. A derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação da função em relação a $ t $, ou seja, como a função muda à medida que $ t $ muda.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Substituindo $ t = 0 $ na função vetorial:
Passo 3
Agora, vamos calcular a diferença
:
Passo 4
Em seguida, dividimos essa diferença por $ t $:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite conforme $ t $ se aproxima de 0 para cada componente do vetor:
-
Este é um limite fundamental em cálculo, conhecido como o limite seno. -
Este é trivial, já que 1 é uma constante. -
Podemos usar a regra de L’Hôpital aqui, pois ao substituir $ t = 0 $ obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Derivando o numerador e o denominador:
Resposta
O limite é:
Interpretação: Este vetor resultante
representa a derivada da função vetorial
no ponto $ t = 0 $. Geometricamente, significa que a taxa de variação da posição em relação a $ t $ no instante $ t = 0 $ é dada por este vetor, indicando a direção e a velocidade do movimento no ponto considerado.