Considere a função vetorial r(t)=lang<=sin (t), t, cos (t)rang<=. Calcule o limite
lim t 0 r(t)-r(0)t
e interprete o resultado.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Nós temos uma função vetorial dada por r(t) = lang<= sin(t), t, cos(t) rang<=. A tarefa é calcular o limite:
limt 0 r(t) - r(0)t
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o conceito de derivada vetorial. A derivada de uma função vetorial nos dá a taxa de variação da função em relação a $ t $, ou seja, como a função muda à medida que $ t $ muda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular r(0). Substituindo $ t = 0 $ na função vetorial:
t = 0

Passo 3

Agora, vamos calcular a diferença r(t) - r(0):
r(t) - r(0) = lang<= sin(t), t, cos(t) rang<= - lang<= 0, 0, 1 rang<= = lang<= sin(t) - 0, t - 0, cos(t) - 1 rang<= = lang<= sin(t), t, cos(t) - 1 rang<=

Passo 4

Em seguida, dividimos essa diferença por $ t $:
t

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite conforme $ t $ se aproxima de 0 para cada componente do vetor:
  1. t
    Este é um limite fundamental em cálculo, conhecido como o limite seno.
  2. limt 0 sin(t)t = 1
    Este é trivial, já que 1 é uma constante.
  3. limt 0 1 = 1
    Podemos usar a regra de L’Hôpital aqui, pois ao substituir $ t = 0 $ obtemos uma forma indeterminada $ \frac{0}{0} $. Derivando o numerador e o denominador:
    limt 0 cos(t) - 1t = 0

Resposta

O limite é:
limt 0 r(t) - r(0)t = lang<= 1, 1, 0 rang<=
Interpretação: Este vetor resultante lang<= 1, 1, 0 rang<= representa a derivada da função vetorial r(t) no ponto $ t = 0 $. Geometricamente, significa que a taxa de variação da posição em relação a $ t $ no instante $ t = 0 $ é dada por este vetor, indicando a direção e a velocidade do movimento no ponto considerado.

Exercícios relacionados