Seja r(t)=lang<=sin (t), cos (t), t^2rang<=. Determine a velocidade e a aceleração vetorial associadas à função r(t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial r(t) = lang<= sin(t), cos(t), t^2 rang<= e precisa encontrar a velocidade e a aceleração associadas a ela. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar a derivada de funções vetoriais, que nos dá a velocidade, e a segunda derivada, que nos dá a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é velocidade vetorial. Na matemática, a velocidade de uma função vetorial é simplesmente a derivada da função em relação ao tempo t. Ou seja, se temos r(t), a velocidade v(t) é dada por:
v(t) = dr(t)dt

Passo 3

Vamos calcular a derivada de cada componente de r(t). Nossa função é:
r(t) = lang<= sin(t), cos(t), t^2 rang<=
Então, derivando cada parte:
  • A derivada de sin(t) em relação a t é cos(t).
  • A derivada de cos(t) em relação a t é -sin(t).
  • A derivada de t^2 em relação a t é 2t.
Portanto, a velocidade vetorial é:
v(t) = lang<= cos(t), -sin(t), 2t rang<=

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
a(t) = dv(t)dt = d^2r(t)dt^2

Passo 5

Vamos derivar cada componente da velocidade v(t):
v(t) = lang<= cos(t), -sin(t), 2t rang<=
Derivando cada parte:
  • A derivada de cos(t) é -sin(t).
  • A derivada de -sin(t) é -cos(t).
  • A derivada de 2t é 2.
Assim, a aceleração vetorial é:
a(t) = lang<= -sin(t), -cos(t), 2 rang<=

Resposta

A velocidade vetorial é v(t) = lang<= cos(t), -sin(t), 2t rang<= e a aceleração vetorial é a(t) = lang<= -sin(t), -cos(t), 2 rang<=.

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