Seja
. Determine a velocidade e a aceleração vetorial associadas à função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
e precisa encontrar a velocidade e a aceleração associadas a ela. Esse exercício está dentro do conteúdo de Cálculo Vetorial, especificamente no estudo de derivadas de funções vetoriais. Para resolver, vamos precisar usar a derivada de funções vetoriais, que nos dá a velocidade, e a segunda derivada, que nos dá a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é velocidade vetorial. Na matemática, a velocidade de uma função vetorial é simplesmente a derivada da função em relação ao tempo
. Ou seja, se temos
, a velocidade
é dada por:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de cada componente de
. Nossa função é:
Então, derivando cada parte:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Portanto, a velocidade vetorial é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração vetorial. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição:
Passo 5
Vamos derivar cada componente da velocidade
:
Derivando cada parte:
- A derivada de
é . - A derivada de
é . - A derivada de
é .
Assim, a aceleração vetorial é:
Resposta
A velocidade vetorial é
e a aceleração vetorial é
.