Encontre uma equação da tangente à curva no ponto fornecido utilizando dois métodos: (a) sem eliminar o parâmetro e (b) eliminando primeiramente o parâmetro.
x=1-t, y=1-t^2 ; (1,1)

Passo 1

Aqui a gente tem a curva paramétrica x=1-t, y=1-t^2 e o ponto (1,1). O conteúdo é derivada de curvas paramétricas: vamos usar dx/dt e dy/dt para achar dy/dx, que é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 2

Método (a) sem eliminar o parâmetro: calculemos as derivadas em relação a t:
dxdt=-1,
dydt=-2t
A inclinação é
dydx=dy/dtdx/dt=-2t-1=2t
Para encontrar t no ponto (1,1), use x=1-t=1 que dá t=0. Então a inclinação é m=2cdot0=0. A reta tangente fica
y-1=0, (x-1)
ou simplesmente y=1.

Passo 3

Método (b) eliminando o parâmetro: da relação x=1-t temos t=1-x. Substituindo em y:
y=1-(1-x)^2=1-[1-2x+x^2]=2x-x^2
Agora é uma função y=f(x)= -x^2+2x. Diferenciando:
dydx=-2x+2
No ponto x=1 vem m=-2cdot1+2=0. De novo a reta é
y-1=0, (x-1)
ou y=1.

Resposta

y = 1

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