Um objeto está se movendo ao longo de uma trajetória definida pela função vetorial de posição r(t)=lang<= t^3, 2 t^2, 5 trang<=, onde t é o tempo em segundos. Determine a aceleração do objeto e discuta o comportamento da aceleração à medida que t tende a zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que temos a posição de um objeto em função do tempo dada por r(t) = lang<= t^3, 2 t^2, 5 t rang<=. Nosso objetivo é encontrar a aceleração desse objeto e entender como ela se comporta quando o tempo t se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de r(t):
v(t) = ddt r(t) = lang<= ddt(t^3), ddt(2 t^2), ddt(5 t) rang<= = lang<= 3 t^2, 4 t, 5 rang<=

Passo 3

Agora que temos a velocidade, vamos para a aceleração, que é a segunda derivada da posição, ou a primeira derivada da velocidade. Vamos derivar cada componente de v(t):
a(t) = ddt v(t) = lang<= ddt(3 t^2), ddt(4 t), ddt(5) rang<= = lang<= 6 t, 4, 0 rang<=

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da aceleração quando t tende a zero. Olhando para a expressão da aceleração:
a(t) = lang<= 6 t, 4, 0 rang<=
À medida que t se aproxima de zero:
  • O componente 6 t vai para 0.
  • Os outros componentes permanecem constantes ( 4 e 0).
Isso significa que a aceleração no eixo x diminui para zero, enquanto nas direções y e z ela permanece constante.

Resposta

A aceleração do objeto é a(t) = lang<= 6 t, 4, 0 rang<=. Conforme t tende a zero, a componente de aceleração no eixo x se aproxima de zero, enquanto as componentes nos eixos y e z permanecem constantes em 4 e 0, respectivamente.

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