Um objeto está se movendo ao longo de uma trajetória definida pela função vetorial de posição
, onde
é o tempo em segundos. Determine a aceleração do objeto e discuta o comportamento da aceleração à medida que
tende a zero.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que temos a posição de um objeto em função do tempo dada por
. Nosso objetivo é encontrar a aceleração desse objeto e entender como ela se comporta quando o tempo
se aproxima de zero. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de derivadas, que nos ajuda a encontrar a velocidade e a aceleração a partir da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a velocidade é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de
:
Passo 3
Agora que temos a velocidade, vamos para a aceleração, que é a segunda derivada da posição, ou a primeira derivada da velocidade. Vamos derivar cada componente de
:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da aceleração quando
tende a zero. Olhando para a expressão da aceleração:
À medida que
se aproxima de zero:
- O componente
vai para . - Os outros componentes permanecem constantes (
e ).
Isso significa que a aceleração no eixo x diminui para zero, enquanto nas direções y e z ela permanece constante.
Resposta
A aceleração do objeto é
. Conforme
tende a zero, a componente de aceleração no eixo x se aproxima de zero, enquanto as componentes nos eixos y e z permanecem constantes em 4 e 0, respectivamente.