Considere a função vetorial r(t)=lang<=t-1t^2, ln (1+t)t, tg ttrang<=. Sabendo que lim t 0 r(t)=lang<= x, y, zrang<=.
Determine suas coordenadas:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial r(t) = lang<= t-1t^2, ln (1+t)t, tan tt rang<= e precisamos encontrar o limite dela quando t se aproxima de 0, ou seja, limt 0 r(t) = lang<= x, y, z rang<=. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades de funções elementares.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. Isso significa que vamos calcular os limites de t-1t^2, ln (1+t)t e tan tt individualmente quando t se aproxima de 0.

Passo 3

Vamos começar com a primeira componente: x(t) = t-1t^2. Para encontrar o limite quando t 0, substituímos t por valores muito próximos de 0:
limt to 0 t - 1t^2 = limt to 0 ( tt^2 - 1t^2 ) = limt to 0 ( 1t - 1t^2 )
À medida que t se aproxima de 0, 1t e 1t^2 tendem a infinito. No caso de t positivo, 1t^2 cresce mais rápido que 1t, resultando em -infty. Já se t for negativo, 1t^2 ainda é positivo e grande, então o limite também tende a -infty.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda componente: y(t) = ln (1+t)t. Aqui, podemos aplicar um limite conhecido ou a regra de L’Hôpital, já que substituindo t = 0 resulta em uma forma indeterminada 00.
Aplicando a regra de L’Hôpital:
limt to 0 ln (1+t)t = limt to 0 ddt ln (1+t)ddt t = limt to 0 11+t1 = 11+0 = 1
Então, y = 1.

Passo 5

Por fim, vamos calcular a terceira componente: z(t) = tan tt. Sabemos que, quando t é próximo de 0, tan t approx t. Portanto:
limt to 0 tan tt = limt to 0 tt = 1
Então, z = 1.

Resposta

O limite da função vetorial quando t se aproxima de 0 é lang<= -infty, 1, 1 rang<=.

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