Considere a função vetorial
. Sabendo que
.
Determine suas coordenadas:
Determine suas coordenadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função vetorial
e precisamos encontrar o limite dela quando
se aproxima de 0, ou seja,
. Para isso, vamos utilizar conceitos de limites e propriedades de funções elementares.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada componente da função vetorial separadamente. Isso significa que vamos calcular os limites de
,
e
individualmente quando
se aproxima de 0.
Passo 3
Vamos começar com a primeira componente:
. Para encontrar o limite quando
, substituímos
por valores muito próximos de 0:
À medida que
se aproxima de 0,
e
tendem a infinito. No caso de
positivo,
cresce mais rápido que
, resultando em
. Já se
for negativo,
ainda é positivo e grande, então o limite também tende a
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda componente:
. Aqui, podemos aplicar um limite conhecido ou a regra de L’Hôpital, já que substituindo
resulta em uma forma indeterminada
.
Aplicando a regra de L’Hôpital:
Então,
.
Passo 5
Por fim, vamos calcular a terceira componente:
. Sabemos que, quando
é próximo de 0,
. Portanto:
Então,
.
Resposta
O limite da função vetorial quando
se aproxima de 0 é
.