Encontre uma equação da reta tangente ao gráfico da função no número indicado: y=2 x+1+6x ; x=2

Passo 1

Temos a função y = 2x + 1 + 6x e queremos encontrar a reta tangente no ponto em que x = 2. Para isso, vamos precisar calcular a derivada da função e depois usar a forma ponto-inclinação de uma reta.

Passo 2

Calculamos a derivada usando regras de soma e potência. Para y = 2x + 1 + 6x^-1:
y' = ddx(2x) + ddx(1) + ddx(6x^-1) = 2 + 0 + 6,(-1)x^-2 = 2 - 6x^2

Passo 3

Agora avaliamos a derivada em x = 2 para achar o coeficiente angular m:
m = y'(2) = 2 - 62^2 = 2 - 64 = 2 - tfrac32 = tfrac12

Passo 4

Precisamos também do ponto de tangência. Calculamos y(2):
y(2) = 2cdot2 + 1 + 62 = 4 + 1 + 3 = 8
Logo, o ponto é (2,8).

Passo 5

Usamos agora a forma ponto-inclinação y - y0 = m(x - x0), com m = tfrac12 e (x0,y0)=(2,8):
y - 8 = tfrac12(x - 2)
Reescrevendo em forma explícita y = mx + b:
y = tfrac12x - 1 + 8 = tfrac12x + 7

Resposta

y = tfrac12x + 7

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