Determine o valor da integral iterada , onde , com precisão de no mínimo três casas decimais:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla , onde a região é definida por e . A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e polinomiais em duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como configurar essa integral dupla. Como a região é um retângulo no plano , podemos escrever a integral iterada como:
Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a .
Passo 3
Vamos começar integrando com relação a . A função que vamos integrar é . Aqui, é tratado como uma constante durante essa integração. A integral de em relação a é:
Então, multiplicando por , temos:
Passo 4
Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral em relação a x:
integral1^3 x (e^x - 1) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral1^3 x e^x , dx - integral1^3 x , dx
Passo 5
Vamos resolver a primeira integral integral x e^x , dx usando integração por partes. Seja:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, avaliando de 1 a 3:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C
Passo 6
A segunda integral é mais simples:
integral1^3 x , dx = x^22 gr|1^3 = 92 - 12 = 4
Passo 7
Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
2 e^3 - 4
Passo 8
Finalmente, calculamos o valor numérico. Sabendo que e^3 approx 20.0855:
2 times 20.0855 - 4 = 40.171 - 4 = 36.171
Resposta
O valor da integral iterada é aproximadamente 36,171.