Determine o valor da integral iterada integralegral duplaR x^2 e^x y d y d x, onde R=(x, y) mid 1 <= x <= 3,0 <= y <= 1, com precisão de no mínimo três casas decimais:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral dupla integral duplaR x^2 e^x y , dy , dx, onde a região R é definida por 1 <= x <= 3 e 0 <= y <= 1. A matéria envolvida aqui é cálculo integral, especificamente integrais iteradas. Vamos precisar saber como integrar funções exponenciais e polinomiais em duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como configurar essa integral dupla. Como a região R é um retângulo no plano xy, podemos escrever a integral iterada como:
integralx=1^3 ( integraly=0^1 x^2 e^x y , dy ) dx
Isso significa que vamos primeiro integrar em relação a y mantendo x constante, e depois integrar o resultado em relação a x.

Passo 3

Vamos começar integrando com relação a y. A função que vamos integrar é x^2 e^x y. Aqui, x é tratado como uma constante durante essa integração. A integral de e^x y em relação a y é:
integral e^x y , dy = e^x yx + C
Então, multiplicando por x^2, temos:
integral0^1 x^2 e^x y , dy = x^2 ( e^x yx ) gr|0^1 = x^2 ( e^x - 1x ) = x (e^x - 1)

Passo 4

Agora, substituímos o resultado da primeira integral na integral em relação a x:
integral1^3 x (e^x - 1) , dx
Vamos separar essa integral em duas partes:
integral1^3 x e^x , dx - integral1^3 x , dx

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral integral x e^x , dx usando integração por partes. Seja:
u = x Rightarrow du = dx
dv = e^x , dx Rightarrow v = e^x
Aplicando a fórmula de integração por partes $ \int u , dv = uv - \int v , du $:
integral u , dv = uv - integral v , du
Então, avaliando de 1 a 3:
integral x e^x , dx = x e^x - integral e^x , dx = x e^x - e^x + C

Passo 6

A segunda integral é mais simples:
integral1^3 x , dx = x^22 gr|1^3 = 92 - 12 = 4

Passo 7

Agora, juntamos os resultados das duas integrais:
2 e^3 - 4

Passo 8

Finalmente, calculamos o valor numérico. Sabendo que e^3 approx 20.0855:
2 times 20.0855 - 4 = 40.171 - 4 = 36.171

Resposta

O valor da integral iterada é aproximadamente 36,171.

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