Considere a função vetorial r(t)=lang<= e^t, raiz1-t, ln (t)rang<=, onde t>0. Determine o domínio da função vetorial r(t) e explique como as restrições impostas pelas componentes e^t, raiz1-t e ln (t) afetam esse domínio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função vetorial r(t) = lang<= e^t, raiz1-t, ln(t) rang<=. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de t todas as componentes da função estão bem definidas. Para isso, vamos analisar cada uma das partes: e^t, raiz1-t e ln(t), e ver quais restrições elas impõem sobre t.

Passo 2

Primeiro, vamos ver a componente e^t. A função exponencial e^t está definida para todos os números reais. Isso quer dizer que, por si só, não impõe nenhuma restrição no valor de t.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a parte raiz1-t. A raiz quadrada só é definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
1 - t >= 0
Resolvendo essa inequação:
-t >= -1 Rightarrow t <= 1
Então, t tem que ser menor ou igual a 1 para que raiz1-t seja válida.

Passo 4

Por último, temos a componente ln(t). O logaritmo natural ln(t) só é definido para valores de t maiores que zero. Ou seja:
t > 0
Portanto, t precisa ser maior que 0 para essa parte da função estar ok.

Passo 5

Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
  • De e^t: t pode ser qualquer número real.
  • De raiz1-t: t <= 1.
  • De ln(t): t > 0.
Para que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo, precisamos que todas essas condições sejam verdadeiras simultaneamente. Logo, t precisa ser maior que 0 e menor ou igual a 1.

Resposta

O domínio da função vetorial r(t) é 0 < t <= 1.

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