Considere a função vetorial
, onde
. Determine o domínio da função vetorial
e explique como as restrições impostas pelas componentes
e
afetam esse domínio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o domínio da função vetorial
. Isso significa que precisamos descobrir para quais valores de
todas as componentes da função estão bem definidas. Para isso, vamos analisar cada uma das partes:
,
e
, e ver quais restrições elas impõem sobre
.
Passo 2
Primeiro, vamos ver a componente
. A função exponencial
está definida para todos os números reais. Isso quer dizer que, por si só, não impõe nenhuma restrição no valor de
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a parte
. A raiz quadrada só é definida quando o que está dentro dela é maior ou igual a zero. Então, precisamos que:
Resolvendo essa inequação:
Então,
tem que ser menor ou igual a 1 para que
seja válida.
Passo 4
Por último, temos a componente
. O logaritmo natural
só é definido para valores de
maiores que zero. Ou seja:
Portanto,
precisa ser maior que 0 para essa parte da função estar ok.
Passo 5
Agora, vamos juntar todas as restrições que encontramos:
- De
: pode ser qualquer número real. - De
: . - De
: .
Para que todas as componentes estejam definidas ao mesmo tempo, precisamos que todas essas condições sejam verdadeiras simultaneamente. Logo,
precisa ser maior que 0 e menor ou igual a 1.
Resposta
O domínio da função vetorial
é
.