Considere uma função vetorial
. Faça as equações paramétricas e esboce o gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma função vetorial
. O que precisamos fazer é encontrar as equações paramétricas dessa função e, depois, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções vetoriais e equações paramétricas, que fazem parte do estudo de geometria analítica e cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Em uma função vetorial como essa, cada componente da função corresponde a uma variável (geralmente x, y, z) em termos de um parâmetro comum, que aqui é o
. Então, podemos separar a função vetorial em três equações individuais:
Essas são as nossas equações paramétricas. Elas descrevem como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro
.
Passo 3
Agora, vamos entender melhor cada uma dessas equações:
-
Equação de x:
- Isso significa que a posição no eixo x oscila entre -1 e 1 conforme
varia.
- Isso significa que a posição no eixo x oscila entre -1 e 1 conforme
-
Equação de y:
- Similarmente, a posição no eixo y também oscila entre -1 e 1.
-
Equação de z:
- Aqui, o valor de z é sempre positivo ou zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Além disso, como
, isso mostra que z também oscila, mas entre 0 e 1.
- Aqui, o valor de z é sempre positivo ou zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Além disso, como
Passo 4
Para esboçar o gráfico dessa função vetorial, vamos analisar como as coordenadas interagem:
- As eqs. de x e y,
e , descrevem um círculo no plano xy com raio 1. - A coordenação de z,
, adiciona uma “altura” que varia com o tempo . Conforme o ponto percorre o círculo, sua altura sobe e desce de acordo com o valor de .
Então, o gráfico será como um círculo no plano xy que oscila verticalmente no eixo z, criando uma espécie de “onda circular”.
Resposta
As equações paramétricas da função vetorial são:
O gráfico dessa função representa um círculo no plano xy com raio 1, cujo ponto se move verticalmente no eixo z conforme
varia, formando uma “onda circular” no espaço tridimensional.