Considere uma função vetorial r(t)=lang<=cos (t), sen(t), cos ^2(t)rang<=. Faça as equações paramétricas e esboce o gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para a gente trabalhar com uma função vetorial r(t)=lang<=cos (t), sen(t), cos ^2(t)rang<=. O que precisamos fazer é encontrar as equações paramétricas dessa função e, depois, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos usar conceitos de funções vetoriais e equações paramétricas, que fazem parte do estudo de geometria analítica e cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são equações paramétricas. Em uma função vetorial como essa, cada componente da função corresponde a uma variável (geralmente x, y, z) em termos de um parâmetro comum, que aqui é o t. Então, podemos separar a função vetorial em três equações individuais:
x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = cos^2(t)
Essas são as nossas equações paramétricas. Elas descrevem como cada coordenada (x, y, z) varia com o parâmetro t.

Passo 3

Agora, vamos entender melhor cada uma dessas equações:
  1. Equação de x: x(t) = cos(t)
    • Isso significa que a posição no eixo x oscila entre -1 e 1 conforme t varia.
  2. Equação de y: y(t) = sin(t)
    • Similarmente, a posição no eixo y também oscila entre -1 e 1.
  3. Equação de z: z(t) = cos^2(t)
    • Aqui, o valor de z é sempre positivo ou zero, já que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Além disso, como cos^2(t) = 1 + cos(2t)2, isso mostra que z também oscila, mas entre 0 e 1.

Passo 4

Para esboçar o gráfico dessa função vetorial, vamos analisar como as coordenadas interagem:
  • As eqs. de x e y, x(t) = cos(t) e y(t) = sin(t), descrevem um círculo no plano xy com raio 1.
  • A coordenação de z, z(t) = cos^2(t), adiciona uma “altura” que varia com o tempo t. Conforme o ponto percorre o círculo, sua altura sobe e desce de acordo com o valor de cos^2(t).
Então, o gráfico será como um círculo no plano xy que oscila verticalmente no eixo z, criando uma espécie de “onda circular”.

Resposta

As equações paramétricas da função vetorial são:
x(t) = cos(t)
y(t) = sin(t)
z(t) = cos^2(t)
O gráfico dessa função representa um círculo no plano xy com raio 1, cujo ponto se move verticalmente no eixo z conforme t varia, formando uma “onda circular” no espaço tridimensional.

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