Considere a função vetorial,
, se
, se
. É correto afirmar que:
a) Não existe
b)
é contínua em
) Não existe
d) Existe
, mas
não é contínua em
e)
é contínua em
.
a) Não existe
d) Existe
Passo 1
O enunciado define a função vetorial g(t) de forma piecewise: para t≠−3 temos g(t) =
e para t=−3 definem g(−3)=(-5,-2). O conteúdo envolvido é limite de funções racionais (e vetoriais), fatoração de polinômios e continuidade em pontos.
Passo 2
Para t≠−3 (e também para t≠4 no segundo componente), fatoramos os numeradores:
e
. Cancelando, obtemos para t perto de qualquer ponto (exceto onde o denominador original zera):
Passo 3
Para o limite quando t→4, usamos o simplificado g(t)=(t-2, t+1). Assim
Logo o limite existe.
Passo 4
Para ver continuidade em t=4, precisamos de g(4). Mas a definição original não fornece valor em t=4 (o denominador do segundo componente anula), então g(4) não existe. Portanto g não é contínua em 4, e as opções (a) e (b) são falsas.
Passo 5
Para o limite quando t→−3, usamos de novo g(t)=(t-2,t+1), válido para t perto de −3 (t≠−3):
Logo existe o limite.
Passo 6
Como g(−3) está definido e vale (-5,-2), que coincide com o limite, g é contínua em t=−3. Assim descartamos © e (d) e concluímos que apenas a letra (e) está correta.
Resposta
e) g é contínua em t=-3.