Considere a função vetorial, t neq-3 e, se g(t)=(-5,-2) t=-3, se lim t 4 g(t) . É correto afirmar que:
a) Não existe g b) t=4 c é contínua em lim t -3 g(t) ) Não existe lim t -3 g(t)
d) Existe g, mas t=-3 não é contínua em g e) t=-3 é contínua em .

Passo 1

O enunciado define a função vetorial g(t) de forma piecewise: para t≠−3 temos g(t) = l((t^2+t-6)/(t+3),,(t^2-3t-4)/(t-4)r) e para t=−3 definem g(−3)=(-5,-2). O conteúdo envolvido é limite de funções racionais (e vetoriais), fatoração de polinômios e continuidade em pontos.

Passo 2

Para t≠−3 (e também para t≠4 no segundo componente), fatoramos os numeradores: t^2+t-6=(t+3)(t-2) e t^2-3t-4=(t-4)(t+1). Cancelando, obtemos para t perto de qualquer ponto (exceto onde o denominador original zera):
g(t)=(t-2,;t+1)

Passo 3

Para o limite quando t→4, usamos o simplificado g(t)=(t-2, t+1). Assim
limtto4g(t)=(4-2,;4+1)=(2,5)
Logo o limite existe.

Passo 4

Para ver continuidade em t=4, precisamos de g(4). Mas a definição original não fornece valor em t=4 (o denominador do segundo componente anula), então g(4) não existe. Portanto g não é contínua em 4, e as opções (a) e (b) são falsas.

Passo 5

Para o limite quando t→−3, usamos de novo g(t)=(t-2,t+1), válido para t perto de −3 (t≠−3):
limtto-3g(t)=(-3-2,;-3+1)=(-5,-2)
Logo existe o limite.

Passo 6

Como g(−3) está definido e vale (-5,-2), que coincide com o limite, g é contínua em t=−3. Assim descartamos © e (d) e concluímos que apenas a letra (e) está correta.

Resposta

e) g é contínua em t=-3.

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