Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma partícula ao longo
(1)
do círculo x^2+y^2-2 y-3=0, com ponto inicial (2,1) e percorrido três vezes no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização em t que descreva o movimento de uma partícula sobre o círculo x²+y²–2y–3=0, partindo de (2,1) e dando três voltas no sentido anti‐horário.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de círculo. Completa‐se o quadrado em y:
x² + y² –2y –3 = 0
x² + (y² –2y +1) –1 –3 = 0
x² + (y–1)² = 4
Logo, o centro é C=(0,1) e o raio é r=2.

Passo 3

Para uma volta anti‐horário padrão começando em (2,1), usamos as funções cosseno e seno:
x(t)=0 + 2·cos = 2 cos
y(t)=1 + 2·sin = 1 + 2 sin
Neste esquema, em t=0 temos (x,y)=(2,1) e um giro completo ocorre quando t vai de 0 a 2π.

Passo 4

Para percorrer três voltas, basta deixar t variar de 0 até 6π. Assim fazemos três voltas anti‐horário. Não é preciso mudar a fórmula, só o intervalo de t: x(t)=2 cos , y(t)=1+2 sin para 0≤t≤6π.

Resposta

As equações paramétricas são
x(t)=2\cos t
y(t)=1+2\sin t
com t variando de 0 a 6\pi, o que faz exatamente três voltas anti‐horário a partir de (2,1).

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