Determine as equações paramétricas que representam o movimento de uma partícula ao longo
(1)
do círculo
, com ponto inicial
e percorrido três vezes no sentido anti-horário.
(1)
do círculo
Passo 1
O enunciado pede uma parametrização em t que descreva o movimento de uma partícula sobre o círculo x²+y²–2y–3=0, partindo de (2,1) e dando três voltas no sentido anti‐horário.
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de círculo. Completa‐se o quadrado em y:
x² + y² –2y –3 = 0
x² + (y² –2y +1) –1 –3 = 0
x² + (y–1)² = 4
Logo, o centro é C=(0,1) e o raio é r=2.
x² + y² –2y –3 = 0
x² + (y² –2y +1) –1 –3 = 0
x² + (y–1)² = 4
Logo, o centro é C=(0,1) e o raio é r=2.
Passo 3
Para uma volta anti‐horário padrão começando em (2,1), usamos as funções cosseno e seno:
x(t)=0 + 2·cos = 2 cos
y(t)=1 + 2·sin = 1 + 2 sin
Neste esquema, em t=0 temos (x,y)=(2,1) e um giro completo ocorre quando t vai de 0 a 2π.
x(t)=0 + 2·cos = 2 cos
y(t)=1 + 2·sin = 1 + 2 sin
Neste esquema, em t=0 temos (x,y)=(2,1) e um giro completo ocorre quando t vai de 0 a 2π.
Passo 4
Para percorrer três voltas, basta deixar t variar de 0 até 6π. Assim fazemos três voltas anti‐horário. Não é preciso mudar a fórmula, só o intervalo de t: x(t)=2 cos , y(t)=1+2 sin para 0≤t≤6π.
Resposta
As equações paramétricas são
x(t)=2\cos t
y(t)=1+2\sin t
com t variando de 0 a 6\pi, o que faz exatamente três voltas anti‐horário a partir de (2,1).