Considere a funçao vetorial, t neq 0, se h(t)=i+j e t=0, se lim t 0 h(t)=i. É correto afirmar que:
a) h(t) e t=0 é contínua em lim t 0 h(t)=j.
b) h(t) e t=0 não é contínua em lim t 0 h(t)=i+j.
c) h(t) e t=0 é contínua em lim t 0 h(t)=0.
d) h(t) e t=0 não é contínua em lim t 0 h(t).
e) Não existe h(t) e t=0 não é contínua em .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que está falando sobre limites de funções vetoriais e continuidade. A gente tem uma função vetorial $ h(t) $ que é diferente quando $ t $ é igual a zero e quando $ t $ não é zero. O que precisamos descobrir é qual é o limite dessa função quando $ t $ se aproxima de zero e se a função é contínua nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função $ h(t) $:
h(t)
E quando $ t = 0 $:
h(t) = (t sin(1t)) i + (cos t) j para t neq 0

Passo 3

Vamos calcular o limite de $ h(t) $ quando $ t $ se aproxima de 0. Isso significa que a gente vai calcular o limite de cada componente da função separadamente.

Passo 4

Primeiro, a componente na direção de $ \vec{i} $:
i
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{t}\right) $ está sempre entre -1 e 1. Então:
limt to 0 t sin(1t)
Como $ t $ está se aproximando de 0, tanto $ -t $ quanto $ t $ vão para 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), o limite também será 0.

Passo 5

Agora, a componente na direção de $ \vec{j} $:
j
Sabemos que $ \cos 0 = 1 $, e a função cosseno é contínua, então o limite é 1.

Passo 6

Juntando as componentes, temos:
limt to 0 h(t) = 0 i + 1 j = j

Passo 7

Agora, vamos verificar a continuidade em $ t = 0 $. A função é contínua nesse ponto se o limite quando $ t $ se aproxima de 0 for igual ao valor da função em 0:
t = 0
t
Como $ \vec{j} \neq \vec{i} + \vec{j} $, a função não é contínua em $ t = 0 $.

Resposta

A alternativa correta é a b):
lim t 0 h(t)=j
e $ h(t) $ não é contínua em $ t=0 $.

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