Considere a funçao vetorial,
, se
e
, se
. É correto afirmar que:
a)
e
é contínua em
.
b)
e
não é contínua em
.
c)
e
é contínua em
.
d)
e
não é contínua em
.
e) Não existe
e
não é contínua em
.
a)
b)
c)
d)
e) Não existe
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que está falando sobre limites de funções vetoriais e continuidade. A gente tem uma função vetorial $ h(t) $ que é diferente quando $ t $ é igual a zero e quando $ t $ não é zero. O que precisamos descobrir é qual é o limite dessa função quando $ t $ se aproxima de zero e se a função é contínua nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função $ h(t) $:
E quando $ t = 0 $:
Passo 3
Vamos calcular o limite de $ h(t) $ quando $ t $ se aproxima de 0. Isso significa que a gente vai calcular o limite de cada componente da função separadamente.
Passo 4
Primeiro, a componente na direção de $ \vec{i} $:
Sabemos que $ \sin\left(\frac{1}{t}\right) $ está sempre entre -1 e 1. Então:
Como $ t $ está se aproximando de 0, tanto $ -t $ quanto $ t $ vão para 0. Pelo Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem), o limite também será 0.
Passo 5
Agora, a componente na direção de $ \vec{j} $:
Sabemos que $ \cos 0 = 1 $, e a função cosseno é contínua, então o limite é 1.
Passo 6
Juntando as componentes, temos:
Passo 7
Agora, vamos verificar a continuidade em $ t = 0 $. A função é contínua nesse ponto se o limite quando $ t $ se aproxima de 0 for igual ao valor da função em 0:
Como $ \vec{j} \neq \vec{i} + \vec{j} $, a função não é contínua em $ t = 0 $.
Resposta
A alternativa correta é a b):
e $ h(t) $ não é contínua em $ t=0 $.