Considere a função vetorial de uma variável \mathbf{r}:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+ z(t) \mathbf{k}, que representa a posição de uma partícula no instante t. Suponha que as primeiras e segundas derivadas das funções coordenadas x(t), y(t) e z(t) existam. Apresente as definições das seguintes grandezas associadas ao movimento descrito por \mathbf{r}(t) :
rapidez (velocidade escalar).

Passo 1

O enunciado pede a definição de rapidez (ou velocidade escalar) para o movimento de uma partícula cuja posição num instante t é dada por
\mathbf{r}(t)=x(t)\,\mathbf{i}+y(t)\,\mathbf{j}+z(t)\,\mathbf{k},
onde existem as primeiras e segundas derivadas de x(t), y(t) e z(t). O conteúdo aqui é cinemática vetorial, e vamos usar as noções de vetor velocidade e comprimento de arco para chegar à definição de rapidez.

Passo 2

Definimos primeiro o vetor velocidade \mathbf{v}(t) como a derivada da posição em relação ao tempo:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}(t) =\frac{dx}{dt}(t)\,\mathbf{i}+\frac{dy}{dt}(t)\,\mathbf{j}+\frac{dz}{dt}(t)\,\mathbf{k}.

Passo 3

A rapidez v(t) é a magnitude do vetor velocidade em cada instante t. Ou seja,
v(t)=\bigl\|\mathbf{v}(t)\bigr\| =\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}(t)\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}(t)\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dz}{dt}(t)\Bigr)^{2}}.

Passo 4

Uma definição alternativa da rapidez é como a derivada do comprimento de arco s(t) percorrido pela partícula desde t=0. O comprimento de arco satisfaz
s(t)=\int_{0}^{t}\bigl\|\mathbf{v}(\tau)\bigr\|\,d\tau,
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v(t)=\frac{ds}{dt}(t).

Resposta

A rapidez (velocidade escalar) v(t) pode ser definida de duas formas equivalentes:
(a) como a magnitude do vetor velocidade,
v(t)=\bigl\|\mathbf{v}(t)\bigr\| =\sqrt{\Bigl(\frac{dx}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dy}{dt}\Bigr)^{2}+\Bigl(\frac{dz}{dt}\Bigr)^{2}},
(b) como a derivada do comprimento de arco percorrido,
v(t)=\frac{d}{dt}\Biggl(\int_{0}^{t}\bigl\|\mathbf{v}(\tau)\bigr\|\,d\tau\Biggr).

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