Considere a função vetorial de uma variável \mathbf{r}:[0,+\infty) \rightarrow \mathbb{R}^{3}, definida por \mathbf{r}(t)=x(t) \mathbf{i}+y(t) \mathbf{j}+z(t) \mathbf{k}, que representa a posição de uma partícula no instante t. Suponha que as primeiras e segundas derivadas das funções coordenadas x(t), y(t) e z(t) existam. Apresente as definições das seguintes grandezas associadas ao movimento descrito por \mathbf{r}(t) :
rapidez (velocidade escalar).
Passo 1
O enunciado pede a definição de rapidez (ou velocidade escalar) para o movimento de uma partícula cuja posição num instante t é dada por
onde existem as primeiras e segundas derivadas de x(t), y(t) e z(t). O conteúdo aqui é cinemática vetorial, e vamos usar as noções de vetor velocidade e comprimento de arco para chegar à definição de rapidez.
Passo 2
Definimos primeiro o vetor velocidade \mathbf{v}(t) como a derivada da posição em relação ao tempo: