Faça gráficos das seguintes funções:
h(x)=1 / 1-x^{2}

Passo 1

O enunciado pede o esboço do gráfico da função racional
h(x)=\frac{1}{1 - x^{2}}.
Para desenhar o gráfico, vamos precisar de: domínio, assíntotas (verticais e horizontais), interceptos e sinal da função em cada intervalo.

Passo 2

Determinar o domínio de h.
O denominador não pode ser zero, ou seja,
1 - x^{2} \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} \neq 1 \quad\Longrightarrow\quad x \neq \pm 1.
Logo o domínio é
\{x\in\mathbb{R}\mid x\neq -1,\;x\neq 1\},
isto é, três intervalos: (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).

Passo 3

Encontrar as assíntotas verticais e horizontais.
Assíntotas verticais: ocorrem onde o denominador zera, em x=-1 e x=1.
Assíntota horizontal: como o grau do denominador 2 é maior que o do numerador 0, temos
\lim_{x\to\pm\infty}h(x)=0,
ou seja, y=0 é assíntota horizontal.

Passo 4

Calcular interceptos e estudar o sinal de h(x).
– Não há raiz (numerador é constante 1\neq0), então não cruza o eixo x.
– Intercepto em y: para x=0,
h(0)=\frac{1}{1-0^{2}}=1,
logo cruza o eixo y em (0,1).
– Sinal de h(x): como o numerador é sempre positivo, o sinal vem do denominador 1 - x^{2}:
1 - x^{2}>0\quad\text{se}\quad |x|<1, \quad 1 - x^{2}<0\quad\text{se}\quad |x|>1.
Portanto
h(x)>0\text{ em }(-1,1), \quad h(x)<0\text{ em }(-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 5

Analisar o comportamento junto às assíntotas.
Em \displaystyle x\to 1^{-}: 1 - x^{2}\to 0^{+} h(x)\to +\infty.
Em \displaystyle x\to 1^{+}: 1 - x^{2}\to 0^{-} h(x)\to -\infty.
Em \displaystyle x\to -1^{+}: 1 - x^{2}\to 0^{+} h(x)\to +\infty.
Em \displaystyle x\to -1^{-}: 1 - x^{2}\to 0^{-} h(x)\to -\infty.
Em \displaystyle x\to\pm\infty: h(x)\to0^{-} aproximando-se da assíntota horizontal pela parte negativa.

Resposta

O gráfico de h(x)=1/(1-x^{2}) possui:
– Domínio (-\infty,-1), (-1,1), (1,\infty).
– Assíntotas verticais em x=-1 e x=1.
– Assíntota horizontal em y=0.
– Corte em (0,1).
– Sinal positivo em (-1,1) (ramo acima do eixo x) e negativo nos outros dois intervalos (ramos abaixo do eixo).
Esboçando, obtemos três ramos:
  1. Para x<-1, curva negativa que vem de 0^- e vai a -\infty em x\to-1^{-}.
  2. Para -1<x<1, curva positiva que sai de +\infty em x\to-1^{+}, passa por (0,1) e volta a +\infty em x\to1^{-}.
  3. Para x>1, curva negativa que sai de -\infty em x\to1^{+} e se aproxima de 0^{-} em x\to+\infty.

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