Determine a derivada das seguintes funções:
f(x)=(\operatorname{sen} x)^{\cos x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=(\sin x)^{\cos x}. O conteúdo aqui é a diferenciação de uma função no formato g(x)^{h(x)}. Para resolver, vamos usar diferenciação logarítmica: escrever \ln f(x), derivar ambos os lados e depois voltar para f'(x).

Passo 2

Seja y = (\sin x)^{\cos x}. Então
\ln y = \cos x \,\ln(\sin x).
Derivando em relação a x, obtemos
\frac{y'}{y} = \frac{d}{dx}\bigl[\cos x \,\ln(\sin x)\bigr] = -\sin x \,\ln(\sin x) + \cos x \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\sin x \,\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}.

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por y para isolar y', temos
y' = y\left(-\sin x \,\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\right).
Como y=(\sin x)^{\cos x},
f'(x)=(\sin x)^{\cos x}\left(-\sin x \,\ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}\right).

Resposta

f'(x)=(\sin x)^{\cos x}\!\biggl(-\sin x \,\ln(\sin x) + \tfrac{\cos^2 x}{\sin x}\biggr).

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