Considere a função vetorial
\vec{g}(x)=(x-1) \hat{\mathrm{i}}+x^{2} \hat{\mathrm{j}} .
I=\oint_{C} \vec{g} \cdot d \vec{r}, ao longo da curva fechada composta pela semicircunferência C_{1} do ex. 11 e o segmento de reta C_{3} do ex. 13, porém percorrido de B para $A.

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral de linha fechada
I=\oint_{C}\vec{g}\cdot d\vec{r}
onde a função vetorial é
\vec{g}(x)=(x-1)\,\hat{\mathrm{i}}+x^{2}\,\hat{\mathrm{j}},
e a curva fechada C é composta pela semicircunferência C_{1} do exercício 11 e pelo segmento de reta C_{3} do exercício 13, sendo que o segmento é percorrido de B para A. As perguntas explícitas são: calcular I (valor numérico ou fórmula fechada). Informações dadas no enunciado que podemos usar imediatamente:
\vec{g}(x)=(x-1,\,x^{2}).
Informações que faltam e que são necessárias para obter um valor numérico: a posição (centro) e o raio da semicircunferência C_{1}, as coordenadas dos pontos A e B (ou seja, a localização do segmento C_{3}), e a orientação completa do contorno (se o contorno é percorrido positivamente/anti-horário ou não). Esses dados normalmente estão na figura ou nos exercícios referenciados (ex.11 e ex.13), que não foram fornecidos aqui. Sem esses dados geométricos não é possível obter um valor numérico específico para I.

Passo 2

Escolha do método: vou usar o Teorema de Green porque
  • estamos em \mathbb{R}^{2} (campo vetorial planar com componentes que têm derivadas parciais contínuas),
  • a curva C é fechada e delimita uma região plana R (a semicircunferência mais o segmento formam uma fronteira fechada),
  • o Teorema de Green transforma uma integral de linha fechada numa integral dupla sobre a região encerrada, frequentemente mais simples de calcular.
Enunciado do Teorema de Green (na forma conveniente aqui). Se C é uma curva fechada, simples e orientada positivamente (anti-horário), e P(x,y) e Q(x,y) têm derivadas parciais contínuas numa região que contém R, então
\oint_{C} P\,dx + Q\,dy = \iint_{R} \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)\,dA.
No nosso caso podemos identificar P(x,y)=x-1 e Q(x,y)=x^{2}. Observação: a orientação do contorno importa (sinal da integral). Se o contorno for percorrido no sentido horário, o resultado muda de sinal; então é preciso saber se a descrição do problema indica orientação positiva. Como não temos a figura, mencionarei esse ponto mais adiante.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais que entram no integrando de Green. Temos
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)=2x,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x-1\big)=0,
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2x.
Portanto, aplicando o Teorema de Green (supondo orientação positiva da curva C),
I=\oint_{C}\vec{g}\cdot d\vec{r}=\iint_{R} 2x\,dA.
Aqui já temos uma forma útil: a integral de linha fechada foi transformada numa integral dupla sobre a região R limitada pela semicircunferência e pelo segmento.

Passo 4

Interpretação prática da integral dupla \iint_{R}2x\,dA. Uma identidade conveniente é lembrar que a integral do primeiro momento em x é a área vezes a coordenada x do centroide:
\iint_{R} x\,dA = \bar{x}\cdot \mathrm{Area}(R),
onde \bar{x} é a abscissa do centroide de R. Assim
I = 2\iint_{R} x\,dA = 2\,\bar{x}\cdot \mathrm{Area}(R).
Isto é muito útil: para obter I basta conhecer a área da região R e a coordenada x do centroide dessa região. Ambos dependem da posição e do raio da semicircunferência e da localização do segmento que fecha a região. Sem esses dados não podemos obter um valor numérico definitivo. Também é possível calcular \iint_{R}2x\,dA explicitamente em coordenadas cartesianas ou polares se a descrição de R for conhecida.

Passo 5

Exemplo concreto (para fixar a ideia): se a semicircunferência C_{1} for a semicircunferência superior de raio R centrada na origem, com diâmetro de (-R,0) a (R,0), então a região R é o semicírculo superior simétrico em torno do eixo y. Nesse caso a abscissa do centroide é \bar{x}=0 (simetria em x), e portanto
I = 2\,\bar{x}\,\mathrm{Area}(R) = 2\cdot 0\cdot \left(\tfrac{1}{2}\pi R^{2}\right)=0.
Vou mostrar a avaliação pela integral dupla em coordenadas polares para esse caso só para praticar:
I = \iint_{R} 2x\,dA = 2\int_{\theta=0}^{\pi}\int_{r=0}^{R} (r\cos\theta)\,r\,dr\,d\theta = 2\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta \int_{0}^{R} r^{2}\,dr.
Calculemos as partes:
\int_{0}^{\pi}\cos\theta\,d\theta = \sin\theta\Big|_{0}^{\pi}=0, \qquad \int_{0}^{R} r^{2}\,dr = \frac{R^{3}}{3}.
Produto dá zero, confirmando I=0. Isso ilustra como o resultado depende fortemente da posição da semicircunferência.

Passo 6

Conclusão prática e o que falta: a expressão geral e correta para a integral é
I=\iint_{R}2x\,dA = 2\,\bar{x}\,\mathrm{Area}(R).
Mas para obter um número você precisa fornecer (ou a figura precisa mostrar) a posição e o raio da semicircunferência C_{1} e as coordenadas dos pontos A e B que definem o segmento C_{3}. Sem esses dados não dá para computar um valor numérico único. Se a semicircunferência for a semicircunferência superior centrada na origem, então I=0, como no exemplo acima.
Força aí — se você me mandar (copiar) a figura do ex.11/ex.13 ou as coordenadas do centro e raio da semicircunferência e as coordenadas de A e B, eu faço o cálculo numérico passo a passo pra você.

Resposta

Não é possível determinar numericamente I porque o enunciado refere-se à semicircunferência C_{1} do ex.11 e ao segmento C_{3} do ex.13 sem fornecer a posição (centro), raio ou as coordenadas de A e B. Em termos gerais,
I=\oint_{C}\vec{g}\cdot d\vec{r}=\iint_{R}2x\,dA=2\,\bar{x}\,\mathrm{Area}(R),
onde R é a região delimitada por C. Exemplo: se C_{1} for o semicírculo superior de raio R centrado na origem, então I=0.

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