Considere a função e^x2
Expandir a função e^x2 em uma série de potências.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para expandir a função em uma série de potências. Isso significa que vamos escrever como uma soma infinita de termos envolvendo potências de . Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de potências e a série de Taylor da função exponencial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função exponencial e^x = sumn=0^infty x^nn! . A série de Taylor de em torno de 0 é dada por:
Aqui, representa o fatorial de , e a soma vai do zero até o infinito.

Passo 3

Agora, queremos a série para e^x2 = sumn=0^infty (x2)^nn! . Para isso, basta substituir por na série que temos para . Então:

Passo 4

Vamos simplificar um pouquinho a expressão dentro da soma. Quando elevamos e^x2 = sumn=0^infty x^nn! cdot 2^n à potência , ficamos com . Assim, a série fica:

Passo 5

Finalmente, podemos reescrever a série de forma mais compacta:
e^x2 = sumn=0^infty x^nn! , 2^n
Isso significa que é igual à soma de todos os termos para começando em 0 e indo até o infinito.

Resposta

A expansão da função e^x2 = sumn=0^infty x^nn! , 2^n em uma série de potências é:

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