Considere a função
Expandir a função
em uma série de potências.
Expandir a função
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para expandir a função
em uma série de potências. Isso significa que vamos escrever
como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
. Para resolver isso, vamos usar o conhecimento sobre séries de potências e a série de Taylor da função exponencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a série de potências da função exponencial
. A série de Taylor de
em torno de 0 é dada por:
Aqui,
representa o fatorial de
, e a soma vai do zero até o infinito.
Passo 3
Agora, queremos a série para
. Para isso, basta substituir
por
na série que temos para
. Então:
Passo 4
Vamos simplificar um pouquinho a expressão dentro da soma. Quando elevamos
à potência
, ficamos com
. Assim, a série fica:
Passo 5
Finalmente, podemos reescrever a série de forma mais compacta:
Isso significa que
é igual à soma de todos os termos
para
começando em 0 e indo até o infinito.
Resposta
A expansão da função
em uma série de potências é: