Encontre a área do triângulo isósceles de 18 cm de perímetro que possui área máxima.
Passo 1
O exercício pede para encontrar a área máxima de um triângulo isósceles cujo perímetro é 18 cm. O conteúdo envolve usar a expressão da área em função dos lados e depois aplicar cálculo (derivada) para maximizar essa área.
Passo 2
Vamos chamar de
o tamanho dos dois lados iguais e de
a base. Pelo perímetro temos
, logo
Passo 3
A área de um triângulo isósceles de lados iguais
e base
é
Substituindo
vem
que, ao simplificar, dá
com domínio
.
Passo 4
Para maximizar
computamos a derivada e igualamos a zero. Usando regra do produto:
Multiplicando por
obtém-se
Passo 5
Para
cm vem
cm, ou seja, o triângulo é equilátero. A área máxima é
Resposta
9\sqrt{3},\mathrm{cm}^2