Encontre a área do triângulo isósceles de 18 cm de perímetro que possui área máxima.

Passo 1

O exercício pede para encontrar a área máxima de um triângulo isósceles cujo perímetro é 18 cm. O conteúdo envolve usar a expressão da área em função dos lados e depois aplicar cálculo (derivada) para maximizar essa área.

Passo 2

Vamos chamar de a o tamanho dos dois lados iguais e de b a base. Pelo perímetro temos 2a + b = 18, logo
b = 18 - 2a

Passo 3

A área de um triângulo isósceles de lados iguais a e base b é
A = b4raiz4a^2 - b^2
Substituindo b = 18 - 2a vem
A(a) = 18 - 2a4raiz4a^2 - (18 - 2a)^2
que, ao simplificar, dá
A(a) = (27 - 3a)raiz2a - 9,,
com domínio 4,5 <= a < 9.

Passo 4

Para maximizar A(a) computamos a derivada e igualamos a zero. Usando regra do produto:
A'(a) = -3raiz2a - 9 + (27 - 3a)1raiz2a - 9 = 0
Multiplicando por raiz2a - 9 obtém-se
-3(2a - 9) + (27 - 3a) = 0 implies -6a + 27 + 27 - 3a = 0 implies a = 6

Passo 5

Para a = 6 cm vem b = 18 - 2cdot6 = 6 cm, ou seja, o triângulo é equilátero. A área máxima é
Amax = 6^2raiz34 = 9raiz3,cm^2

Resposta

9\sqrt{3},\mathrm{cm}^2

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