Um campo retangular situado às margens de um rio deve ser cercado e não se exige cerca ao longo do rio. Se o material custa R por metro para as laterais perpendiculares ao rio e por metro para as laterais perpendiculares ao rio e por metro para a cerca paralela ao rio, calcule as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de R 3,00. Calcule sua área.

Passo 1

Resumo do problema: a gente tem um terreno retangular encostado no rio, não precisa cercar a margem do rio. As duas cercas perpendiculares ao rio custam R$ 2,00 por metro e a cerca paralela ao rio custa R$ 3,00 por metro. Com R$ 2.400,00 de material, queremos maximizar a área desse retângulo. Precisamos usar otimização por derivada.

Passo 2

Vamos chamar de x a largura do terreno (lados perpendiculares ao rio) e de y o comprimento paralelo ao rio. O custo total é a soma de: duas vezes o custo de x mais o custo de y. Assim,
4x + 3y = 2400,
onde 4x vem de duas cercas de custo R$ 2,00/m cada (2·2·x) e 2,00/m cada (2·2·x) e é a cerca de cima.

Passo 3

Isolamos y em função de x:
y = 2400 - 4x3

Passo 4

A área do retângulo é A = xcdot y. Substituindo y:
A(x) = x,2400 - 4x3 = 2400x - 4x^23

Passo 5

Para encontrar o máximo, derivamos A(x) em relação a x:
A'(x) = 2400 - 8x3

Passo 6

Igualando a derivada a zero para achar o ponto crítico:
2400 - 8x = 0 implies x = 300

Passo 7

Verificamos que A''(x) = -tfrac83 < 0, então é um máximo.

Passo 8

Encontramos y correspondente:
y = 2400 - 4cdot3003 = 12003 = 400

Passo 9

Calculamos a área máxima:
Amax = 300 times 400 = 120000 m^2

Resposta

As dimensões do campo de maior área são 300 m (largura) e 400 m (comprimento), e a área máxima é 120 000 m².

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