Um campo retangular situado às margens de um rio deve ser cercado e não se exige cerca ao longo do rio. Se o material custa R
por metro para as laterais perpendiculares ao rio e
por metro para a cerca paralela ao rio, calcule as dimensões do campo de maior área possível que pode ser cercado com um custo de R
. Calcule sua área.
Passo 1
Resumo do problema: a gente tem um terreno retangular encostado no rio, não precisa cercar a margem do rio. As duas cercas perpendiculares ao rio custam R$ 2,00 por metro e a cerca paralela ao rio custa R$ 3,00 por metro. Com R$ 2.400,00 de material, queremos maximizar a área desse retângulo. Precisamos usar otimização por derivada.
Passo 2
Vamos chamar de
a largura do terreno (lados perpendiculares ao rio) e de
o comprimento paralelo ao rio. O custo total é a soma de: duas vezes o custo de
mais o custo de
. Assim,
onde
Passo 3
Isolamos
em função de
:
Passo 4
A área do retângulo é
. Substituindo
:
Passo 5
Para encontrar o máximo, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Igualando a derivada a zero para achar o ponto crítico:
Passo 7
Verificamos que
, então é um máximo.
Passo 8
Encontramos
correspondente:
Passo 9
Calculamos a área máxima:
Resposta
As dimensões do campo de maior área são 300 m (largura) e 400 m (comprimento), e a área máxima é 120 000 m².