(3,0) Considere a função f(x, y, z)=x+y+z e a restrição g(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-27=0. Pedimos:
a) Diga, justificando, porquê a função f tem extremantes globais nos pontos onde g(x, y, z)=0
b) utilize a técnica dos multiplicadores de Lagrange para determinar todos os candidatos a extremantes para essa função, com essa restrição;
c) Encontre o maior e o menor valor que a função f assume sobre essa superfície esférica, dizendo em quais pontos eles ocorrem.

Passo 1

O enunciado considera
  • a função f(x,y,z)=x+y+z,
  • a restrição g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-27=0, que define a esfera de raio raiz27.
    Pede-se:
    a) justificar por que f tem extremos globais nessa esfera,
    b) usar multiplicadores de Lagrange para achar os candidatos a extremos,
    c) determinar quais são o máximo e o mínimo de f sobre a esfera e em que pontos eles ocorrem.
Conteúdo: existência de extremos em conjunto compacto e método de Lagrange.

Passo 2

A superfície S=(x,y,z)mid x^2+y^2+z^2=27 é fechada e limitada, logo é compacta em R^3. Como f é contínua, pelo Teorema de Weierstrass ela atinge valor máximo e mínimo em S. Portanto existem extremos globais de f sujeitos à restrição g=0.

Passo 3

Aplicamos multiplicadores de Lagrange:
nabla f = lambda,nabla g
Como
nabla f=(1,1,1), nabla g=(2x,2y,2z),
obtemos o sistema
1=2lambda x, 1=2lambda y, 1=2lambda z, x^2+y^2+z^2=27

Passo 4

Das três primeiras equações segue
x = 12lambda,; y = 12lambda,; z = 12lambda,
ou seja x=y=z. Substituindo na restrição,
3x^2=27 Longrightarrow x^2=9 Longrightarrow x=pm3
Logo os candidatos são
(3,3,3) e (-3,-3,-3)

Passo 5

Calculamos f nesses pontos:
f(3,3,3)=3+3+3=9, f(-3,-3,-3)=-3-3-3=-9
Assim o valor máximo de f sobre a esfera é 9, ocorrido em (3,3,3), e o valor mínimo é -9, ocorrido em (-3,-3,-3).

Resposta

a) Porque a esfera x^2+y^2+z^2=27 é compacta e f é contínua, então existem extremos globais.
b) Candidatos via Lagrange: (3,3,3) e (-3,-3,-3).
c) Máximo de f é 9 em (3,3,3); mínimo de f é -9 em (-3,-3,-3).

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