Considere a função
e a restrição
. Pedimos:
a) Diga, justificando, porquê a função
tem extremantes globais nos pontos onde
b) utilize a técnica dos multiplicadores de Lagrange para determinar todos os candidatos a extremantes para essa função, com essa restrição;
c) Encontre o maior e o menor valor que a função
assume sobre essa superfície esférica, dizendo em quais pontos eles ocorrem.
a) Diga, justificando, porquê a função
b) utilize a técnica dos multiplicadores de Lagrange para determinar todos os candidatos a extremantes para essa função, com essa restrição;
c) Encontre o maior e o menor valor que a função
Passo 1
O enunciado considera
- a função
, - a restrição
, que define a esfera de raio .
Pede-se:
a) justificar por quetem extremos globais nessa esfera,
b) usar multiplicadores de Lagrange para achar os candidatos a extremos,
c) determinar quais são o máximo e o mínimo desobre a esfera e em que pontos eles ocorrem.
Conteúdo: existência de extremos em conjunto compacto e método de Lagrange.
Passo 2
A superfície
é fechada e limitada, logo é compacta em
. Como
é contínua, pelo Teorema de Weierstrass ela atinge valor máximo e mínimo em
. Portanto existem extremos globais de
sujeitos à restrição
.
Passo 3
Aplicamos multiplicadores de Lagrange:
Como
obtemos o sistema
Passo 4
Das três primeiras equações segue
ou seja
. Substituindo na restrição,
Logo os candidatos são
Passo 5
Calculamos
nesses pontos:
Assim o valor máximo de
sobre a esfera é
, ocorrido em
, e o valor mínimo é
, ocorrido em
.
Resposta
a) Porque a esfera
é compacta e
é contínua, então existem extremos globais.
b) Candidatos via Lagrange: e
.
c) Máximo de é
em
; mínimo de
é
em
.
b) Candidatos via Lagrange:
c) Máximo de