Sejam r: R R^3 com r=(x(t), y(t), z(t)) e f: R^3 R dada por f(x, y, z). Defina g(t)=f(r(t)) equiv f(x(t), y(t), z(t)). Mostre que
g^prime(t)=nabla f(r(t)) cdot dd t r(t)

Passo 1

O enunciado define a composição
g(t)=fl(x(t),y(t),z(t)r)
onde r(t)=(x(t),y(t),z(t)) e pede para mostrar que
g'(t)=nabla fl(r(t)r)cdot ddtr(t)
O conteúdo aqui é a regra da cadeia em três variáveis, que usa a definição de derivada de g e a diferenciabilidade de f.

Passo 2

Começamos pela definição de derivada:
g'(t)=limDe<a tto0g(t+De<a t)-g(t)De<a t
Substituindo g, obtemos
g(t+De<a t)-g(t) =fl(x(t+De<a t),y(t+De<a t),z(t+De<a t)r) -fl(x(t),y(t),z(t)r)

Passo 3

Como é diferenciável, seu incremento pode ser aproximado por sua diferencial total:
onde
e análogas para . Logo

Passo 4

Divide-se por De<a t e faz-se o limite De<a tto0:
g'(t) =fxl(x(t),y(t),z(t)r),x'(t) +fyl(x(t),y(t),z(t)r),y'(t) +fzl(x(t),y(t),z(t)r),z'(t)

Passo 5

Reconhecemos as componentes do gradiente e da derivada de r:
nabla fl(r(t)r) =l(fx,fy,fzr), ddtr(t)=l(x',y',z'r)
O produto escalar destas duas linhas dá exatamente a soma acima:
nabla fl(r(t)r)cdot ddtr(t) =fx,x'+fy,y'+fz,z'

Resposta

g'(t)=nabla fl(r(t)r)cdot ddtr(t)

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