Sejam
com
e
dada por
. Defina
. Mostre que
Passo 1
O enunciado define a composição
onde
e pede para mostrar que
O conteúdo aqui é a regra da cadeia em três variáveis, que usa a definição de derivada de
e a diferenciabilidade de
.
Passo 2
Começamos pela definição de derivada:
Substituindo
, obtemos
Passo 3
Como
é diferenciável, seu incremento pode ser aproximado por sua diferencial total:
onde
e análogas para . Logo
Passo 4
Divide-se por
e faz-se o limite
:
Passo 5
Reconhecemos as componentes do gradiente e da derivada de
:
O produto escalar destas duas linhas dá exatamente a soma acima: