Calcule as derivadas direcionais de f nas direções indicadas:
f(x, y)=y cos (x-y) em u=(1raiz2, 1raiz2);

Passo 1

O enunciado pede a derivada direcional de f(x,y)=ycos(x-y) na direção vec u=l(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r).
Conteúdo envolvido: derivadas parciais, gradiente e definição de derivada direcional via produto escalar.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f usando regra do produto e regra da cadeia:
A derivada parcial em relação a x trata y como constante, então
fx(x,y) = ycdotl(-sin(x-y)r)cdot1 = -,ysin(x-y)
A derivada parcial em relação a y usa regra do produto ucdot v com u=y e v=cos(x-y):
fy(x,y) = 1cdotcos(x-y) + ycdotl(-sin(x-y)r)cdot(-1) = cos(x-y) + ysin(x-y)

Passo 3

Formamos o gradiente e aplicamos a definição de derivada direcional:
nabla f(x,y)=l(fx(x,y),,fy(x,y)r) =l(-ysin(x-y),,cos(x-y)+ysin(x-y)r)
A derivada direcional em vec u é
Dvec uf(x,y) =nabla f(x,y)cdotvec u =l(-ysin(x-y)r)1raiz2+l(cos(x-y)+ysin(x-y)r)1raiz2 =cos(x-y)raiz2

Resposta

Dvec uf(x,y)=cos(x-y)raiz2

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