Use o Teorema de Green para calcular
. (Confira a orientaçåo da curva antes de aplicar o teorema.)
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral de linha
aplicando o Teorema de Green. Aqui
e
é uma curva fechada orientada (veremos abaixo se é no sentido anti-horário ou horário). Usaremos que, para orientação positiva (anti-horária),
Passo 2
Primeiro conferimos a orientação de
. Como a questão alerta para “conferir a orientação antes de aplicar o teorema”, suponhamos que
esteja orientada no sentido horário (orientação negativa). Nesse caso, para usar Green devemos inverter o sinal:
Passo 3
Calculamos agora as derivadas parciais:
Logo
Passo 4
Pela orientação negativa de
e pelo Teorema de Green,
Aqui
é a região interior a
. Supondo que
seja o círculo unitário
,
é o disco de raio 1.
Passo 5
No disco de raio 1, por simetria,
Portanto