Use o Teorema de Green para calcular integralC F cdot d r. (Confira a orientaçåo da curva antes de aplicar o teorema.)
integralC -(x^23+y^2) d x+(y^43-x^2) d y

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de linha
ointCP,dx + Q,dy
aplicando o Teorema de Green. Aqui
P(x,y) = -l(x^23+y^2r), Q(x,y) = y^43-x^2,
e C é uma curva fechada orientada (veremos abaixo se é no sentido anti-horário ou horário). Usaremos que, para orientação positiva (anti-horária),
ointCP,dx+Q,dy =integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 2

Primeiro conferimos a orientação de C. Como a questão alerta para “conferir a orientação antes de aplicar o teorema”, suponhamos que C esteja orientada no sentido horário (orientação negativa). Nesse caso, para usar Green devemos inverter o sinal:
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos agora as derivadas parciais:
partial Qpartial x =partialpartial x(y^43-x^2) =-2x, partial Ppartial y =partialpartial yl[-(x^23+y^2)r] =-2y
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partial Qpartial x-partial Ppartial y =(-2x)-(-2y) =2(y - x)

Passo 4

Pela orientação negativa de C e pelo Teorema de Green,
ointCP,dx+Q,dy =-integral duplaD2l(y - xr),dA =integral duplaD2l(x - yr),dA
Aqui D é a região interior a C. Supondo que C seja o círculo unitário x^2+y^2=1, D é o disco de raio 1.

Passo 5

No disco de raio 1, por simetria,
integral duplaDx,dA = 0, integral duplaDy,dA = 0
Portanto
integral duplaD2l(x - yr),dA =2l(integral duplaDx,dA - integral duplaDy,dAr) =2(0-0) =0

Resposta

ointCl[-(x^23+y^2),dx + (y^43-x^2),dyr] = 0

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