Considere a função y=f(x), cujo gráfico passa pelo ponto P\left(\sqrt{3}, \sqrt{\frac{3}{2}}\right), e dada implicitamente por 4 x^{2}-2 y^{2}=9. Então a segunda derivada de f(x) neste ponto é:
Escolha uma opção:
a. 3 \sqrt{2}
b. -2 \sqrt{3}
c. -6 \sqrt{\frac{2}{3}}
d. 3 \sqrt{\frac{3}{2}}
e. -6 \sqrt{\frac{3}{2}}

Passo 1

O enunciado dá a curva definida implicitamente por
4x^{2}-2y^{2}=9
e pede \,y'' em P\bigl(\sqrt{3},\sqrt{\tfrac{3}{2}}\bigr). O conteúdo é derivada implícita: primeiro achar y' e depois y''.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(4x^2 - 2y^2\bigr)=\frac{d}{dx}(9)
8x - 4y\,y' = 0
Logo, isolando y':
y' = \frac{8x}{4y} = \frac{2x}{y}.

Passo 3

Para obter y'', derivamos
y' = \frac{2x}{y}
usando a regra do quociente:
y'' = \frac{(2\cdot y) - (2x)\,y'}{y^2} = \frac{2y - 2x\,y'}{y^2}.

Passo 4

Substituindo y' = \tfrac{2x}{y} no numerador:
2y - 2x\Bigl(\frac{2x}{y}\Bigr) = 2y - \frac{4x^2}{y} = \frac{2y^2 - 4x^2}{y}.
Portanto
y'' = \frac{2y^2 - 4x^2}{y^3}.

Passo 5

No ponto P, temos x^2=3 e y^2=\tfrac{3}{2}. O numerador fica
2\Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr) - 4\cdot 3 = 3 - 12 = -9,
e o denominador é
y^3 = \bigl(\sqrt{\tfrac{3}{2}}\bigr)^3 = \Bigl(\tfrac{3}{2}\Bigr)^{3/2}.
Logo
y'' = \frac{-9}{\bigl(\tfrac{3}{2}\bigr)^{3/2}} = -9 \cdot \frac{(2)^{3/2}}{(3)^{3/2}} = -6\sqrt{\tfrac{2}{3}}.

Passo 6

Comparando com as alternativas, isso corresponde à letra (c).

Resposta

c. -6\sqrt{\tfrac{2}{3}}

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