Sobre a função f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} dada por f(x)=e^{x^{5}-5 x}, podemos afirmar que:
Escolha uma opção:
a. f é crescente no intervalo (-\infty,-1)
b. \quad f não possui extremos relativos
c. f é decrescente no intervalo (1,+\infty)
d. f é estritamente crescente
e. \quad f possui máximo relativo em \mathrm{x}=1

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=e^{x^5-5x}
e pede para identificar variação e extremos relativos. Para isso, vamos precisar calcular a derivada f'(x) e estudar seu sinal.

Passo 2

Calculamos a derivada usando a regra da cadeia. Como e^{u}’ = e^{u}\cdot u', temos
f'(x)=e^{x^5-5x}\cdot\frac{d}{dx}(x^5-5x) =e^{x^5-5x}\cdot(5x^4-5).

Passo 3

Observando que e^{x^5-5x}>0 para todo x, o sinal de f'(x) é dado por
5x^4-5=5(x^4-1).
Logo:
  • Se |x|>1, então x^4>1 e f'(x)>0.
  • Se |x|<1, então x^4<1 e f'(x)<0.
  • Em x=\pm1, f'(x)=0.

Passo 4

Dessa forma:
  • Em (-\infty,-1) temos f'(x)>0, logo f é crescente.
  • Em (-1,1) temos f'(x)<0, logo f é decrescente.
  • Em (1,\infty) temos f'(x)>0, logo f é crescente.
    Portanto há um máximo relativo em x=-1 e um mínimo relativo em x=1.

Passo 5

Comparando com as opções:
a. Verdadeira: f é crescente em (-\infty,-1).
b. Falsa: há extremos relativos em \pm1.
c. Falsa: em (1,\infty) f é crescente, não decrescente.
d. Falsa: f não é crescente em todo \mathbb{R}.
e. Falsa: em x=1 há mínimo relativo, não máximo.

Resposta

(a) f é crescente no intervalo (-\infty,-1).

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