Considere a função:
para
.
a) Determine os pontos críticos.
b) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local.
c) Intervalos de crescimento e decrescimento
d) Esboce o gráfico da função
a) Determine os pontos críticos.
b) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local.
c) Intervalos de crescimento e decrescimento
d) Esboce o gráfico da função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede:
– os pontos críticos (onde ),
– a classificação desses pontos (máximo ou mínimo local),
– os intervalos de crescimento e decrescimento (onde ),
– e um esboço do gráfico.
Para isso vamos calcular , resolver
, usar
(ou o teste do sinal de
) e analisar comportamento nas extremidades do domínio.
– os pontos críticos (onde
– a classificação desses pontos (máximo ou mínimo local),
– os intervalos de crescimento e decrescimento (onde
– e um esboço do gráfico.
Para isso vamos calcular
Passo 2
Calculemos a derivada de
Usando
e
, temos
Passo 3
Determinamos os pontos críticos resolvendo
Multiplicando por
obtemos
Assim, o único ponto crítico é
.
Passo 4
Para classificar usamos a segunda derivada. Derivando
:
Como
para todo
, a concavidade é voltada para cima em todo o domínio. Logo, em
temos um mínimo local.
Passo 5
Analisando o sinal de
: note que
– Se
, então
e
: a função decresce em
.
– Se , então
e
: a função cresce em
.
– Se
Passo 6
Para esboçar o gráfico, observamos:
– Em ,
faz
, logo
.
– Em , o termo
domina e
.
– Há um mínimo em com valor
– Em
– Em
– Há um mínimo em
A concavidade é sempre positiva, então o gráfico desce de
em
até
e depois sobe monotonamente para
.
Resposta
(a) Ponto crítico:
.
(b) Classificação: mínimo local em .
(c) Decresce em e cresce em
.
(d) Esboço: curva convexa que vem de em
, atinge mínimo
e volta a
conforme
.
(b) Classificação: mínimo local em
(c) Decresce em
(d) Esboço: curva convexa que vem de