Considere a função: y(x)=15 x^5-ln (x) para x>0.
a) Determine os pontos críticos.
b) Classifique os pontos críticos como máximo ou mínimo local.
c) Intervalos de crescimento e decrescimento
d) Esboce o gráfico da função

Passo 1

O enunciado nos dá a função
y(x)=15x^5-ln(x), x>0
e pede:
– os pontos críticos (onde y'=0),
– a classificação desses pontos (máximo ou mínimo local),
– os intervalos de crescimento e decrescimento (onde y'>r<=ss0),
– e um esboço do gráfico.
Para isso vamos calcular y', resolver y'=0, usar y'' (ou o teste do sinal de y') e analisar comportamento nas extremidades do domínio.

Passo 2

Calculemos a derivada de
y(x)=15x^5-ln(x)
Usando tfracddx(x^5)=5x^4 e tfracddx(ln x)=1/x, temos
y'(x)=15cdot5x^4-1x =x^4-1x

Passo 3

Determinamos os pontos críticos resolvendo
y'(x)=x^4-1x=0
Multiplicando por x>0 obtemos
x^5-1=0 Longrightarrow x^5=1 Longrightarrow x=1
Assim, o único ponto crítico é x=1.

Passo 4

Para classificar usamos a segunda derivada. Derivando y'(x):
y''(x)=ddxl(x^4-1xr) =4x^3+1x^2
Como 4x^3+tfrac1x^2>0 para todo x>0, a concavidade é voltada para cima em todo o domínio. Logo, em x=1 temos um mínimo local.

Passo 5

Analisando o sinal de y'(x): note que
sgn(y'(x)) =sgnl(x^4-tfrac1xr) =sgn(x^5-1)
– Se 0<x<1, então x^5<1 e y'(x)<0: a função decresce em (0,1).
– Se x>1, então x^5>1 e y'(x)>0: a função cresce em (1,infty).

Passo 6

Para esboçar o gráfico, observamos:
– Em xto0^+, ln(x)to-infty faz -ln(x)to+infty, logo y(x)to+infty.
– Em xto+infty, o termo tfrac15x^5 domina e y(x)to+infty.
– Há um mínimo em x=1 com valor
y(1)=15cdot1^5-ln(1) =15-0 =15
A concavidade é sempre positiva, então o gráfico desce de +infty em xto0^+ até (1,tfrac15) e depois sobe monotonamente para +infty.

Resposta

(a) Ponto crítico: x=1.
(b) Classificação: mínimo local em x=1.
(c) Decresce em (0,1) e cresce em (1,infty).
(d) Esboço: curva convexa que vem de +infty em xto0^+, atinge mínimo (1,tfrac15) e volta a +infty conforme xtoinfty.

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